Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z:
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$
Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z:
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z:
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$
Theo BĐT Holder ta có
$3(\sum \frac{x^2}{y})^3(\sum \sqrt{x^3y^3})^2\geqslant (\sum \sqrt[6]{x^9})^6=(\sum \sqrt{x^3})^6$$\Rightarrow (\sum \frac{x^2}{y})^3\geqslant \frac{(\sum \sqrt{x^3})^6}{3(\sum\sqrt{x^3y^3})^2 }$
Do đó ta chỉ cần C/m $\frac{(\sum \sqrt{x^3})^6}{3(\sum\sqrt{x^3y^3})^2 }\geqslant 9(\sum x^3)\Leftrightarrow (\sum \sqrt{x^3})^6\geqslant 27(\sum x^3)(\sum \sqrt{x^3y^3})^2$
Đặt $\sum x^3=a; \sum \sqrt{x^3y^3}=b$ Thì (1) $\Leftrightarrow (a+2b)^3\geqslant 27ab^2\Leftrightarrow (a+b+b)^3\geq 27ab^2$ (Luôn đúng theo AM-GM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 12-05-2018 - 00:05
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương x, y, z:
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}$
Theo $BDT Holder$ ta có:
$\left ( \sum \frac{x^{2}}{y} \right )\left ( \sum \frac{x^{2}}{y} \right )\left ( \sum x^{2}y^{2} \right )\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}$
Lại có theo Cauchy $\left ( \sum x^{2} \right )^{6}=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})^{3}$$\geq 27(\sum x^{4})(\sum x^{2}y^{2})^{2}$.
Nên $(\sum x^{2})^{3}\geq 3\sqrt{3}\sqrt{x^{4}+y^{4}+z^{4}}(\sum x^{2}y^{2})$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}\geq 3\sqrt[4]{\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{3}}$
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $3\left ( \sum x^{4} \right )^{3}\geq (\sum x^{3})^{4}$ đúng theo Holder
Một kết quả mạnh hơn vẫn đúng:
$$\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} \ge 3\sqrt[6]{{\frac{{{x^6} + {y^6} + {z^6}}}{3}}}$$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh