Cho A=$2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}$. Chứng minh A chia hết cho n(n+1) với n là số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 12-05-2018 - 15:56
Cho A=$2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}$. Chứng minh A chia hết cho n(n+1) với n là số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 12-05-2018 - 15:56
Slogan For today xD
Ta xét 2 TH sau
TH1: n chẵn -> Ta có:
Áp dụng tính chất $a^n+b^n \vdots a+b$(với n lẻ, ta có)
$$n+1\mid 1^{2015}+n^{2015}$$
$$.......$$
$$ n+1\mid( \frac{n}{2})^{2015} +(\frac{n+2}{2})^{2015} $$
$$\Rightarrow A \vdots n+1$$
Ta cần chứng minh A $\vdots n$
Ta có $$A=2(1^{2015}+2^{2015}+....+(n-1)^{2015})+2n^{2015}$$
Vì$$n\mid ( 1^{2015} +(n-1)^{2015}$$
..............
$$n\mid 2. ( \frac{n}{2})^{2015}=n.(\frac{n}{2})^{2014} $$
$$ \Rightarrow n \mid 2(1+2^{2015}+.....+(n-1)^{2015}) $$
$$\Rightarrow A \vdots n$$
Vì $(n;n+1)=1$$ \Rightarrow A \vdots n(n+1)$
Trường hợp n lẻ thì tương tự thôi
P/s: Kí hiệu $a\mid b$ nghĩa là a là ước của b
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 12-05-2018 - 17:45
Thực ra không cần xét $n$ chẵn lẻ vì có số $2$ phía trước rồi. Đây là một câu của chuyên Vĩnh Phúc năm nào đó.( Mình quên rồi)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 12-05-2018 - 20:46
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh