Chủ đề này có 2 trả lời

[dchynh]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC, kẻ đường kính CD của (O), AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, F là giao điểm của DB và HE, I là trung điểm của OA

Chứng minh BI và CF cắt nhau tại một điểm trên đường tròn (O).

[vkhoa]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC, kẻ đường kính CD của (O), AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, F là giao điểm của DB và HE, I là trung điểm của OA

Chứng minh BI và CF cắt nhau tại một điểm trên đường tròn (O).

$AH .AO =AB^2 =AE .AD$

$\Leftrightarrow\frac{AH}{AE} =\frac{AD}{AO}$

$\Rightarrow\triangle AHE\sim\triangle ADO$ (c, g, c)

$\Rightarrow\widehat{AHE} =\widehat{ADO}$

$\Rightarrow EHOD$ nội tiếp

$\widehat{AHE} =\widehat{EDO} =\widehat{DEO} =\widehat{DHO}$

$\Leftrightarrow\widehat{BHF} =\widehat{BHD}$

$\Rightarrow B$ là trung điểm $FD$

$\Rightarrow\widehat{CFB} =\widehat{CDB}$

$CF$ cắt $(O)$ tại $G$, $BG$ cắt $AO$ tại $J$

$DG\perp FC$

$\widehat{BJH} =\widehat{GBF} =180^\circ -2\widehat{GFB} =180^\circ -2\widehat{BDO} =\widehat{BOD}$ (1)

có $\widehat{BAO} =\widehat{BCD}$

$\Rightarrow\widehat{IOB} =\widehat{IBO} =\widehat{ODB} =\widehat{OBD}$

$\Rightarrow\widehat{BIO} =\widehat{BOD}$ (2)

từ (1, 2)$\Rightarrow\widehat{BJO} =\widehat{BIO}$

$\Leftrightarrow\widehat{JBH} =\widehat{IBH}$

$\Rightarrow I\equiv J$

vậy, $BI$ và $CF$ cắt nhau tại điểm $G$ nằm trên đ tròn $(O)$ (đpcm)

Hình gửi kèm

• 

[Duc Huynh]

Còn một cách khác

Gọi G là giao điểm của BI và CF ta chứng minh tứ giác DBGC nội tiếp (O)

Từ chổ B là trung điểm của DF, ta suy ra OB là đường trung bình của $\Delta$DFC

=> OB // CF

=> $\widehat{BGF}=\widehat{IBO}$ (so le trong)

mà $\widehat{IBO}=\widehat{IOB}$ (vì IO=IA=IB nên $\Delta IOB$ cân tại I)

$\widehat{IOB}=\widehat{OBD}$     (so le trong)

$\widehat{OBD}=\widehat{ODB}$   (vì $\Delta ODB$ cân tại O)

=> $\widehat{ODB}=\widehat{BGF}$

=> tứ giác DBGC nội tiếp

=> G thuộc (O)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duc Huynh: 18-05-2018 - 11:00