Chủ đề này có 4 trả lời

[Silverbullet069]

Bài 1 : Số tất cả các cách khác nhau để viết số 20 thành tổng của 8 số tự nhiên lẻ (không tính đến thứ tự các số trong tổng).

Bài 2 : Viết các số nguyên 2,2,5,5,8,9 lên 6 tấm bìa. Từ 6 tấm bìa này, ta chọn một số lượng tùy ý các tấm bìa rồi tính tổng các số ghi trên các tấm bìa được chọn. Trong các tổng đã tính như thế, hỏi rằng từ 1 đến 31, có bao nhiêu số nguyên không thể xuất hiện (mỗi số nguyên là một tổng mà ta đã tính theo cách trên)?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 12-05-2018 - 20:37

[Puisunjouronestledumonde]

Bài 1 : Số tất cả các cách khác nhau để viết số 20 thành tổng của 8 số tự nhiên lẻ (không tính đến thứ tự các số trong tổng).

Hàm sinh cho mỗi số tự nhiên lẻ:

$A(x)=x+x^{3}+x^{5}+x^{7}+....$

Theo qui tắc xoắn:

$F(x)=\left ( x+x^{3}+x^{5}+x^{7}+.... \right )^{8}=x^{8}\left ( 1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+... \right )^{8}=x^{8}\left ( \frac{1}{1-x^{2}} \right )^{8}$

Số cách viết thỏa yêu cầu là hệ số của $x^{20-8}=x^{12}$ trong $ \left ( \frac{1}{1-x^{2}} \right )^{8}$

Đặt $z=x^{2}\Rightarrow x^{12}=z^{\frac{12}{2}}=z^{6}$

thì số cách viết thỏa yêu cầu là hệ số của $z^{6}$ trong $\left ( \frac{1}{1-z} \right )^{8}$

Áp dụng công thức $\left ( \frac{1}{1-z} \right )^{r}=\sum_{k=0}^{\infty }C_{k+r-1}^{r-1}z^{k}$ thì hệ số của $z^{6} $ là $ C_{6+8-1}^{8-1}=C_{13}^{7}=1716$

Vậy có $1716$ cách viết thỏa yêu cầu.

[chanhquocnghiem]

Bài 1 : Số tất cả các cách khác nhau để viết số 20 thành tổng của 8 số tự nhiên lẻ (không tính đến thứ tự các số trong tổng).

Gọi $8$ số tự nhiên lẻ lần lượt là $2a_1+1,2a_2+1,...,2a_8+1$, trong đó $a_1,a_2,...,a_8\in \mathbb{N}$ và $a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$

Ta có $(2a_1+1)+(2a_2+1)+...+(2a_8+1)=20$

$\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_8=6$ ($a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$ và $0\leqslant a_1,a_2,...,a_8\leqslant 6$)

 

Đáp án bài này cũng là đáp án bài toán tương tự sau :

Một cửa hàng muốn tặng cho khách hàng phiếu quà tặng trị giá $600000$ đ. Cửa hàng có các loại phiếu mệnh giá $100000$ đ, $200000$ đ, $300000$ đ, $400000$ đ, $500000$ đ, $600000$ đ (mỗi loại mệnh giá có trên $6$ tờ)

Hỏi cửa hàng có bao nhiêu cách tặng ?

 

GIẢI :

a) Nếu cửa hàng chỉ dùng 1 loại mệnh giá thì có $4$ cách (vì $6$ có $4$ ước dương)

b) Nếu cửa hàng dùng đúng 2 loại mệnh giá :

    Số cách sẽ là số nghiệm nguyên dương của phương trình $ax+zy=6$ ($z> a> 0$)

    + Nếu $a=1$ : Có $5$ nghiệm

    + Nếu $a=2$ : Có $1$ nghiệm

    + Nếu $a> 2$ : Vô nghiệm

c) Nếu cửa hàng dùng đúng 3 loại mệnh giá :

    Số cách là số nghiệm nguyên dương của phương trình $x+y+z=6$ ($x> y> z$) : $1$ cách

 

Vậy đáp án bài này (và cả bài ở trên) là $11$ cách.

[Puisunjouronestledumonde]

Cám ơn anh. Em đã tính có thứ tự...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Puisunjouronestledumonde: 07-06-2018 - 11:20

[Nobodyv3]

Em xin phép mượn :

Gọi $8$ số tự nhiên lẻ lần lượt là $2a_1+1,2a_2+1,...,2a_8+1$, trong đó $a_1,a_2,...,a_8\in \mathbb{N}$ và $a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$
Ta có $(2a_1+1)+(2a_2+1)+...+(2a_8+1)=20$
$\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_8=6$ ($a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$ và $0\leqslant a_1,a_2,...,a_8\leqslant 6$)

Tức là ta đi tính số nghiệm của :
$$\begin {cases}
a_1+a_2+...+a_8=6\\ (a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8) \wedge (0\leqslant a_1,a_2,...,a_8\leqslant 6)
\end{cases}$$Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x)&=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^3+x^6)(1+x^4)(1+x^5)(1+x^6)\\
&=\frac {(1-x^7)(1-x^8)(1-x^9)(1-x^8)(1-x^{10})(1-x^{12})}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)}\\
\Longrightarrow [x^6]f(x)&=\boldsymbol {11}
\end {align*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 18-02-2023 - 22:58