Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho 10

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 467 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 13-05-2018 - 00:33

Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $10$. Chứng minh rằng $a^{3}-b^{3}$ chia hết cho $1000$


  N.D.P 

#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 13-05-2018 - 07:17

+) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 10=>a^{2}+ab+b^{2}\vdots 2$

Nếu $a,b$ cùng lẻ thì $a^{2}+ab+b^{2}$ lẻ.

Nếu trong hai số $a,b$ có một số lẻ, một số chẵn thì $a^{2}+ab+b^{2}$ lẻ.

+) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 10=>a^{2}+ab+b^{2}\vdots 5$

$<=>5a^{2}-4a^{2}+5ab-4ab+b^{2}\vdots 5<=>4a^{2}+4ab-b^{2}\vdots 5<=>(2a+b)^{2}-2b^{2}\vdots 5$

$=>(2a+b)^{2}\equiv 2b^{2}$ (mod $5$)

- Nếu $a$ chia hết cho 5 thì $b$ chia hết cho 5. -

Nếu $a$ không chia hết cho 5:

Xét $b$ chia hết cho $5$ ( vô lý)

Xét $b$ không chia hết cho $5$.

$=>a,b\vdots 2=>a^{3}-b^{3}\vdots 8$

$b^{2}\equiv 1,4$ (mod $5$) $=>(2a+b)^{2}\equiv 2,3(mod5)$ vô lý do SCP chia $5$ dư $0,1,4$.

$=>a,b\vdots 5=>a^{3}-b^{3}\vdots 125=>a^{3}-b^{3}\vdots 1000$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 13-05-2018 - 08:00

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh