Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $10$. Chứng minh rằng $a^{3}-b^{3}$ chia hết cho $1000$

[Tea Coffee]

+) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 10=>a^{2}+ab+b^{2}\vdots 2$

Nếu $a,b$ cùng lẻ thì $a^{2}+ab+b^{2}$ lẻ.

Nếu trong hai số $a,b$ có một số lẻ, một số chẵn thì $a^{2}+ab+b^{2}$ lẻ.

+) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 10=>a^{2}+ab+b^{2}\vdots 5$

$<=>5a^{2}-4a^{2}+5ab-4ab+b^{2}\vdots 5<=>4a^{2}+4ab-b^{2}\vdots 5<=>(2a+b)^{2}-2b^{2}\vdots 5$

$=>(2a+b)^{2}\equiv 2b^{2}$ (mod $5$)

- Nếu $a$ chia hết cho 5 thì $b$ chia hết cho 5. -

Nếu $a$ không chia hết cho 5:

Xét $b$ chia hết cho $5$ ( vô lý)

Xét $b$ không chia hết cho $5$.

$=>a,b\vdots 2=>a^{3}-b^{3}\vdots 8$

$b^{2}\equiv 1,4$ (mod $5$) $=>(2a+b)^{2}\equiv 2,3(mod5)$ vô lý do SCP chia $5$ dư $0,1,4$.

$=>a,b\vdots 5=>a^{3}-b^{3}\vdots 125=>a^{3}-b^{3}\vdots 1000$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 13-05-2018 - 08:00