Chủ đề này có 1 trả lời

[doctor lee]

cho (O, R) dây BC cố định ko đi wa O . điểm A thuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . 3 đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. đường phân giác góc BHK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N . kẻ DE vuông góc vs BH tại E .kẻ DF vuông góc vs CH tại F .

cm a, tam giác AMN cân

b, cm EF vuông góc vs OA

c, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt tia phân giác BAC tại Q. cm khi A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thì đường thẳng HQ luôn đi wa 1 điểm cố định

 

thanks m.n nhiều ^^

[HelpMeImDying]

Kẻ đường kính $AA'$, gọi $G$ là giao điểm thứ 2 của $(AMN)$ với $(O)$.

Vì $AQ$ là phân giác $\widehat{MAN}$$\Rightarrow$ $QM=QN$, mà $AM=AN$$\Rightarrow$$AQ$ là đường kính của $(AMN)$

$\Rightarrow \widehat{AGQ}=\widehat{AGA'}=90^{\circ}$$\Rightarrow A',Q,G$ thẳng hàng.

Lại có $\widehat{GMA}=\widehat{GNA}\Rightarrow \widehat{GMB}=\widehat{GNC}\Rightarrow \Delta GMB\sim \Delta GNC (g.g)$

$\Rightarrow \frac{GB}{GC}=\frac{MB}{NC}=\frac{BK}{CI}\Rightarrow \Delta GBK\sim \Delta GCI\Rightarrow \widehat{GKB}=\widehat{GIC}\Rightarrow \widehat{GKA}=\widehat{GIA}\Rightarrow GKIA$ nội tiếp $\Rightarrow$ 5 điểm $A,I,H,K,G$ cùng thuộc 1 đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AGH}=\widehat{AKH}=90^{\circ}\Rightarrow G,H,Q,A'$ thẳng hàng.

Mặt khác: có $A'BHC$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $HA'$ đi qua trung điểm $BC$$\Rightarrow$ $HQ$ đi qua trung điểm $BC$ cố định

Hình gửi kèm

•