Chủ đề này có 3 trả lời

[use your brains]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}\\\sqrt{x+y}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 15-05-2018 - 20:10

[conankun]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}\\\sqrt{x+y}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13 \end{matrix}\right.$

$PT (1) \Leftrightarrow (\sqrt{x^2+3}-2)+(\sqrt{x}-1)+(2\sqrt{x+3}-4)=0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{2}{\sqrt{x+3}+2})=0$

Do $[...]>0\Rightarrow x=1$

Thế vào ta có: $\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13$

Ta có: $VT\leq 4, VP\geq 4$

Dấu "=" xảy ra $y=3$

Vậy $x=1, y=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 15-05-2018 - 22:41

[Tran Hoai Nghia]

$PT (1) \Leftrightarrow (\sqrt{x^2+3}-2)+(\sqrt{x}-1)+(2\sqrt{x+3}-4)=0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{2}{\sqrt{x+3}+2})=0$

Do $[...]>0\Rightarrow x=1$

Thế vào ta có: $\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13$

Ta có: $VT\leq 4, VP\geq 4$

Dấu "=" xảy ra $y=3$

Vậy $x=1, y=3$

Bổ sung 1 lời giải đối với phương trình $\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}$:

Với D là tập xác định chung của hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$, cả 2 liên tục trên D và có một hàm nghịch biến, hàm còn lại đồng biến thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất:

$f(x)= \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}$ dễ thấy hàm số đồng biến trên TXĐ của nó ( phải trình bày cụ thể)

$g(x)= 7-\sqrt{x^2+3}$ nghịch biến. ( trình bày cụ thể)

Do đó phương trình $f(x)= g(x)$ có nghiệm $x=1$.

Còn lại giải theo bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 15-05-2018 - 23:15

[Tran Hoai Nghia]

Thực ra mình nhầm, tưởng đang trong TOPIC THPT, nếu bạn đã học đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, mình xin chứng minh khẳng định:

Với D là tập xác định chung của hai hàm số $f(x)$,$g(x)$, cả 2 liên tục trên D và có một hàm nghịch biến, hàm còn lại đồng biến thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.

Chứng minh: 

Giả sử $f(x)=g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt và $f(x)$ đồng biến, $g(x)$ nghịch biến, ta có $h(x) = f(x)-g(x)$ đồng biến ($-g(x)$ đồng biến).Vậy $h(x)=0$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất $\Rightarrow f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.
Còn nghiệm nó là gì thì thường các bài toán như vậy nghiệm dễ thấy.
 

 

 

 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}\\\sqrt{x+y}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13 \end{matrix}\right.$