Chủ đề này có 4 trả lời

[PhanThai0301]

Bài 1:  Cho a, b, c, d>0, tìm GTNN của P= $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}$.

Bài 2: Cho a, b, c, d>0, CMR: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 16-05-2018 - 17:08

[kphanhoang121]

Bài 1:  Cho a, b, c, d>0, tìm GTNN của P= $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}$.

 

bất đẳng thức tương đương:

$\frac{a^{2}}{ab+2ca+3da} +\frac{b^{2}}{cb+2db+3ab}+\frac{c^{2}}{dc+2ac+3bc}+\frac{d^{2}}{ad+2bd+3cd}$ $\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+bc+ca+bd+dc+da)}$

áp dụng BDT:$ab+ac+ad+bc+bd+dc\leq (a+b+c+d)^{2}\frac{3}{8}$

vậy P$\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{\frac{12}{8}(a+b+c+d)^{2}}$ $=\frac{8}{12}$

[conankun]

Bài 2: Cho a, b, c, d>0, CMR: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$.

Lời giải tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 16-05-2018 - 18:06

[PhanThai0301]

Lời giải tại đây

Bạn có cách khác sử dựng BDT Bunhiacopski ko?

[trieutuyennham]

Bạn có cách khác sử dựng BDT Bunhiacopski ko?

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{(a+b+c)(\sum a^{3}+24abc)}}$

ta sẽ cm 

$\sum a^{3}+24abc \leq (a+b+c)^{3}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ (đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieutuyennham: 16-05-2018 - 21:25