2) $\int_{\overarc{AB}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$, với $A(1,1),B(2,4)$ trong hai trường hợp cung $\overarc{AB}$ tạo với đoạn AB thành đường cong kín không bao gốc toạ độ và bao gốc toạ độ.
(Làm mẫu 1 bài để tham khảo thôi nha)
Đặt $P=\frac{-y}{x^2+y^2}$ ; $Q=\frac{x}{x^2+y^2}$ $\Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$
$\Rightarrow \int _{\overarc{AB}}Pdx+Qdy=\int _{\overarc{AB}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ không phụ thuộc đường lấy tích phân
a) Trường hợp $\overarc{AB}$ tạo với đoạn $AB$ thành đường cong kín không bao gốc tọa độ :
Vì tích phân đang xét không phụ thuộc đường lấy tích phân nên ta có thể chọn đoạn cong tùy ý đi từ $A$ đến $B$, ví dụ đoạn parabol $y=x^2$ từ $A$ đến $B$ (bạn cũng có thể chọn đoạn thẳng $y=3x-2$ đi từ $A$ đến $B$)
$\int _{\overarc{AB}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\int _1^2\left ( \frac{-x^2}{x^2+x^4}+\frac{x}{x^2+x^4}.2x \right )dx=\int _1^2\frac{dx}{x^2+1}=\arctan 2-\arctan 1=\arctan \frac{1}{3}$
b) Trường hợp $\overarc{AB}$ tạo với đoạn $AB$ thành đường cong kín bao gốc tọa độ :
Vì tích phân đang xét không phụ thuộc đường lấy tích phân nên ta cũng có : $\int _{\overarc{AB}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\arctan \frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-05-2018 - 08:37