Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh

[TOPIC]: ĐA THỨC THCS

123

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 17-05-2018 - 17:45

   Xin chào tất cả các bạn mình là PhanThai0301 . Mình thấy các bàn toán về đa thức  THCS trên diễn đàn ta có vẻ chưa nhiều lắm nên mình xin đươc lập topic này.

  

   Nội quy của topic:

 

 + Không post những thứ làm spam topic.

 + Post bài cũng như giải bài cần trình bày rõ ràng, cẩn thận.

 + Không nên dẫn link các bài toán đã được giải ở nơi khác.

 + Nếu trong 1 ngày không có ai giải thì post đáp án.

 + Bài nào có lời giải tô màu đỏ, chưa giải tô màu đen.

   Mong mọi người chấp hành đúng nội quy và giải bài hăng say.

   P/s: rất mong được sự góp ý của các anh/ chị trên diễn đàn :D .

  Một số kiến thức và phần đa thức

  1. Định nghĩa

  Đa thức là 1 hàm số P: R -> R có dạng

      P(x)= $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$,

  với $a_{0}, a_{1},...,a_{n}$ là những só thực đã cho, gọi là các hệ số của ẩn x.

  2. Các định lí cơ bản về nghiệm của đa thức và phương pháp để giải các bài toán này

  • Định lí Bezout: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x - c khi và chỉ khi P(c)=0.
  • Phương pháp hệ số bất định: Giả sử f(x)= $a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

                                                                   g(x)= $b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}$

        Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì $a_{3}=b_{3};a_{2}=b_{2};a_{1}=b_{1};a_{0}=b_{0}$.

  • Phương pháp nội suy Newton: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n+1 điểm: $C_{1},C_{2},...,C_{n+1}$ ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

           P(x)= $b_{0}+b_{1}(x-C_{1})+b_{2}(x-C_{1})(x-C_{2})+...+b_{n}(x-C_{1})...(x-C_{n})$

        Bằng cách thế x lần lượt bằng các giá trị của $C_{1},C_{2},...,C_{n+1}$  vào biểu thức P(x) ta có thể tính lần lượt các hệ số của nó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 17-05-2018 - 22:49

  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#2 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 17-05-2018 - 18:00

Mình xin bắt đàu các bài toán sau:

Bài 1: CMR đa thức $x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1$ chia hết cho đa thức $x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$.

 

Bài 2: Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì $f(x+1)=x^{2}-3x+2$.

 

Bài 3: Xác định các số thực p, q sao cho đa thức $x^{4}+1$ chia hết cho đa thức $x^{2}+px+q$.

 

Bài 4: Khi chia đa thức $x^{1951}-1$ cho đa thức $x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1$ ta được một thương và phần dư. Hãy tìm hệ số của $x^{14}$ trong thương.

 

Bài 5: Cho đa thức f(x)=$ax^{2}+bx+c$. CMR nếu $\left | f(x) \right |\leq h$, với mọi $x\in [-1;1]$, thì:

                                                $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq 4h.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 18-05-2018 - 20:42

  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#3 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\boxed{\color{red}\bigstar \color{green}{\text{Hà Tĩnh}} \color{red}\bigstar}}$
  • Sở thích:$\color{blue}\bigstar\boxed{\color{red}{\text{MATHS}}}\color{blue}\bigstar$

Đã gửi 17-05-2018 - 18:08

Mình xin bắt đàu các bài toán sau:

Bài 1: CMR đa thức $x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1$ chia hết cho đa thức $x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$.

Mở đầu [TOPIC]

Spoiler

Đặt $f(x)=x^{9999}+....+1, g(x)=x^9+....+1$

Trước hết ta cần c/m: $f(x)-g(x)\vdots g(x)$

Thật vậy $f(x)-g(x)=x^{9999}-x^9+.....+x^{1111}-x=x^9(x^{9990}-1)+.....+x(x^{1110-1})\vdots (x^{10}-1)$

Mà $x^{10}-1\vdots g(x)\Rightarrow f(x)-g(x)\vdots g(x)\Rightarrow f(x)\vdots g(x)$

 

p/s: Nên xin bản quyền trước khi sử dụng :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 17-05-2018 - 18:11


#4 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\boxed{\color{red}\bigstar \color{green}{\text{Hà Tĩnh}} \color{red}\bigstar}}$
  • Sở thích:$\color{blue}\bigstar\boxed{\color{red}{\text{MATHS}}}\color{blue}\bigstar$

Đã gửi 17-05-2018 - 18:20

Góp [TOPIC] mấy bài :)

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $P(x)=1+x^2+x^4+.....+x^{2n-2}$ và $Q(x)=1+x+x^2+....+x^{n-1}$

Tìm số nguyên n để $P(x)$ chia hết cho $Q(x)$

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho các số nguyên $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau. Xét đa thức $P(x)=x^2-(a+b)x+ab$. Biết $P(c)=c^2$. CMR: $c.P(a+b)$ là số chính phương

 

p/s: Bài nào có lời giải rồi thì tô màu đỏ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 17-05-2018 - 22:57


#5 use your brains

use your brains

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The BEST OR NOTHING
  • Sở thích:Học toán, xem reaction hóa học và post bài lên VMF :D

Đã gửi 17-05-2018 - 20:08

 

Bài 2: Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì $f(x+1)=x^{2}-3x+2$.

 

$f(x+1)=x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)=(x+1-3)(x+1-2)$

=>$f(x)=(x-3)(x-2)=x^2-5x+6$


Để giành những chiến thắng lớn đôi khi cần chấp nhận những rủi ro lớn. :)


#6 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 17-05-2018 - 20:21

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tìm số tự nhiên n sao cho A=$x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 

 

 Ta xét 3 TH sau:

  •  TH1: n=3k (k là số tự nhiên) thì $x^{2n}+x^{n}+1=x^{6k}+x^{3k}+1=(x^{6k}-1)+(x^{3k}-1)+3$.

           => A chia cho $n^{2}+n+1$ dư 3.

  •  TH2: n=3k+1 thì $x^{2n}+x^{n}+1=x^{6k+2}+x^{3k+1}+1=(x^{6k}-x^{2})+(x^{3k+1}-x)+x^2+x+1$.

           => A chia hết cho $n^{2}+n+1$.

  •  TH3: n=3k+2 thì chứng minh tương tự ta cũng có A chia hết cho $n^{2}+n+1$.

   Kết luận: Vậy nếu n không chia hết cho 3 thì A chia hết cho $n^{2}+n+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 17-05-2018 - 20:22

  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#7 use your brains

use your brains

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The BEST OR NOTHING
  • Sở thích:Học toán, xem reaction hóa học và post bài lên VMF :D

Đã gửi 17-05-2018 - 20:25

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 

Xét $n=3k=>x^{2n}+x^n+1=x^{6k}+x^{3k}+1=(x^{6k}-1)+(x^{3k}-1)+3=(x^{3k}-1).A+3=(x^3-1).B+3=(x-1)(x^2+x+1).B+3$ $(loại)$

Xét $n=3k\pm 1$    

ta được $VT\vdots VP$

Vậy $n=3k\pm 1$ thỏa mãn 

P/s: A,B là một đa thức đặt trước 

Nguồn: https://diendantoanh...a-hết-cho-x2x1/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 17-05-2018 - 20:32

Để giành những chiến thắng lớn đôi khi cần chấp nhận những rủi ro lớn. :)


#8 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 17-05-2018 - 20:28

$f(x+1)=x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)=(x+1-3)(x+1-2)$

=>$f(x)=(x-3)(x-2)=x^2-5x+6$

 -> Một cách khá hay mình xin được trình bày cách khác .

  Đặt y = x + 1 thì x = y - 1 và f(x) = $x^{2}-3x+2$ trở thành

         f(y) = $(y-1)^{2}-3(y-1)+2=y^{2}-5y+6$.

 Vì vậy f(x) = $x^{2}-5x+6$.

 


  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#9 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\boxed{\color{red}\bigstar \color{green}{\text{Hà Tĩnh}} \color{red}\bigstar}}$
  • Sở thích:$\color{blue}\bigstar\boxed{\color{red}{\text{MATHS}}}\color{blue}\bigstar$

Đã gửi 17-05-2018 - 20:35

Bài 5: Cho đa thức f(x)=$ax^{2}+bx+c$. CMR nếu $\left | f(x) \right |\leq h$, với mọi $x\in [-1;1]$, thì:

                                                $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq 4h.$

$x=0\Rightarrow|c|\leq h\Rightarrow -h\leq c\leq h$

$x=-1\Rightarrow |a-b+c|\leq h\Rightarrow -h\leq a-b+c\leq h$

$x=1\Rightarrow |a+b+c|\leq h\Rightarrow -h\leq a+b+c\leq h$

Từ 3 BĐT trên ta có: $\left\{\begin{matrix} a\leq 2h\\ b,c\leq h \end{matrix}\right. \Rightarrow |a|+|b|+|c|\leq 4h$



#10 Leuleudoraemon

Leuleudoraemon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:${\color{Red} ERROR}$
  • Sở thích:${\color{Red} ERROR}$

Đã gửi 17-05-2018 - 20:51

 

Góp [TOPIC] mấy bài :)

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $P(x)=1+x^2+x^4+.....+x^{2n-2}$ và $Q(x)=1+x+x^2+....+x^{n-1}$

Tìm số nguyên n để $P(x)$ chia hết cho $Q(x)$

 

 

 

Bài 6:

Dễ biến đổi P(x) và Q(x) thành:

P(x)=$\frac{(1-x^n)(1+x^n)}{(1-x)(1+x)}$

 

Q(x)=$\frac{1-x^n}{1-x}$

 

Để P(x) chia hết cho Q(x) <=> $(1+x^n)$ chia hết cho 1+x

 

$\frac{x^n+1}{x+1}=H(x)+\frac{1+(-1)^n}{x+1}$

=> $(1+x^n)\vdots (1+x)\Leftrightarrow 1+(-1)^n=0\Leftrightarrow n=2k+1 (k\epsilon N)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 17-05-2018 - 23:02


#11 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 17-05-2018 - 21:14

$x=0\Rightarrow|c|\leq h\Rightarrow -h\leq c\leq h$

$x=-1\Rightarrow |a-b+c|\leq h\Rightarrow -h\leq a-b+c\leq h$

$x=1\Rightarrow |a+b+c|\leq h\Rightarrow -h\leq a+b+c\leq h$

Từ 3 BĐT trên ta có: $\left\{\begin{matrix} a\leq 2h\\ b,c\leq h \end{matrix}\right. \Rightarrow |a|+|b|+|c|\leq 4h$

 Lời giải rất chuẩn :like mình mới nghĩ ra 1 cách khác sau đây thấy hơi ảo: :wacko:

 Theo giả thiết, ta có $\left | f(0) \right |\leq h,\left | f(1) \right |\leq h,\left | f(-1) \right |\leq h$.

 Ta biểu diễn a, b, c qua f(0), f(1) và f(-1). Ta có

        $\left\{\begin{matrix} f(0)=c & \\ f(1)=a+b+c & \\ f(-1)=a-b+c & \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} c=f(0) & \\a=\frac{f(1)+f(-1)}{2} -f(0) & \\ b=\frac{f(1)-f(-1)}{2} & \end{matrix}\right.$

  Do đó $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |=\left | \frac{f(1+f(-1))}{2} -f(0)\right |+\left | \frac{f(1)-f(-1)}{2} \right |+\left | f(0) \right |\leq \frac{1}{2}\left | f(1) \right |+\frac{1}{2}\left | f(-1) \right |+\left | f(0) \right |+\frac{1}{2}\left | f(1) \right |+\frac{1}{2}\left | f(-1) \right |+\left | f(0) \right |\leq \frac{h}{2}+\frac{h}{2}+h+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+h=4h$ (đpcm)

P/s: mong bạn leuleudoremon giải bài trích lại đề mình cảm ơn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 17-05-2018 - 21:22

  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#12 Korkot

Korkot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Far far away
  • Sở thích:Ngao du thiên hạ

Đã gửi 17-05-2018 - 22:15

Góp [TOPIC] mấy bài :)

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $P(x)=1+x^2+x^4+.....+x^{2n-2}$ và $Q(x)=1+x+x^2+....+x^{n-1}$

Tìm số nguyên n để $P(x)$ chia hết cho $Q(x)$

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho các số nguyên $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau. Xét đa thức $P(x)=x^2-(a+b)x+ab$. Biết $P(c)=c^2$. CMR: $c.P(a+b)$ là số chính phương

 

p/s: Bài nào có lời giải rồi thì tô màu đỏ

Bài 8: $P(c)=c^2-(a+b)c+ab=c^2 \Rightarrow ab=(a+b)c$

Vì a,b,c nguyên tố cùng nhau nên điều trên xảy ra khi và chỉ khi trong a,b,c có 2 số 0

Khi đó  c.P(a+b)=$ ((a+b)^2-(a+b)(a+b)+ab)c=abc=0$ suy ra đpcm


                The only way to learn mathematics is to do mathematics

                                        Paul Malmos


#13 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 17-05-2018 - 22:45

Bài 6:

Dễ biến đổi P(x) và Q(x) thành:

P(x)=$\frac{(1-x^n)(1+x^n)}{(1-x)(1+x)}$

 

Q(x)=$\frac{1-x^n}{1-x}$

 

Để P(x) chia hết cho Q(x) <=> $(1-x^n)$ chia hết cho 1+x

 

$\frac{x^n+1}{x+1}=H(x)+\frac{1+(-1)^n}{x+1}$

=> $(1-x^n)\vdots (1+x)\Leftrightarrow 1+(-1)^n=0\Leftrightarrow n=2k+1 (k\epsilon N)$

 

 Bạn giải thích rõ đoạn mình bôi xanh được không ?

 

Bài 8: $P(c)=c^2-(a+b)c+ab=c^2 \Rightarrow ab=(a+b)c$

Vì a,b,c nguyên tố cùng nhau nên điều trên xảy ra khi và chỉ khi trong a,b,c có 2 số 0

Khi đó  c.P(a+b)=$ ((a+b)^2-(a+b)(a+b)+ab)c=abc=0$ suy ra đpcm

  Dòng này chưa đúng bạn à!

  Mình xin đc trình bày lời giải của mình

 Ta có: P(c)= $c^{2}-(a+b)c+ab=c^{2}$ => (a-c)(b-c)=$c^{2}$.

 Gọi (a-c, b-c)=d thì $(a-c)\vdots d;(b-c)\vdots d$ =>$c^{2}\vdots d^{2}$=> c$\vdots d$=>$a\vdots d,b\vdots d$

 => d=1 do a, b, c nguyên tố cùng nhau.

 => a-c, b-c đêu là các số chính phương.

 Đặt $a-c=t^{2};b-c=k^{2}=>c=tk$.

 Ta có: a+b=a-c+b-c+2c=$t^{2}+k^{2}+2tk=(t+k)^{2}$.

 => a+b là số chính phương.

 => c.P(a+b)=$c^{2}(a+b)$ là số chính phương (đpcm).

 

Mình xin đưc đ ngh thêm my bài đ mi ngưi luyn tp

Bài 9: Cho đa thc f(x) tha mãn $f(x^{2}-1)=x^{4}-3x^{2}+3$, đúng vi mi x. Tìm $f(x^{2}+1)$.

 

Bài 10: Tìm các h s $b, c$ ca đa thc $P(x)=x^{2}+bx+c$ biết $P(x)$ có giá tr nh nht bng $-1$ khi $x=2.$

 

Bài 11: Cho các đa th$P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c;Q(x)=x^{2}+2016x+2017$ tha mãn P(x) = 0 có ba nghim thc phân bit và  $P\left ( Q(x) \right )=0$ vô nghim. Chng minh rng $P(2017)> 1008^{6}$.

 

Bài 12: Chng minh rng vi mi s nguyên k, đa thc sau không th có hai nghim nguyên phân bit $P(x)=x^{4}-21x^{3}+(2016+k)x^{2}-2017x+3k$.

 

Bài 13: Cho các đa thc $P(x)$ và $Q(x)$ tha mãn $P(x)=Q(x)+(x^2-x+1).Q(1-x)$ vi mi $ x \in \mathbb{R}$. Biết rng các h s ca $P(x)$ là các s nguyên không âm và $P(0)=$. Tính giá tr $Q(2017)$.

 

Bài 14:  Cho đa thc $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (vi $a,b,c,d$ là các s thc) tha mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $S=10P(4)+P(-2)$.

 

Bài 15: Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017)).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 19-05-2018 - 06:15

  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#14 use your brains

use your brains

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The BEST OR NOTHING
  • Sở thích:Học toán, xem reaction hóa học và post bài lên VMF :D

Đã gửi 18-05-2018 - 08:16

 

Bài 3: Xác định các số thực p, q sao cho đa thức $x^{4}+1$ chia hết cho đa thức $x^{2}+px+q$.

Ta có $x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}+1)$ 

vì $x^4+1\vdots (x^2+px+q)$ nên $p=\pm \sqrt{2}$ và $q=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 18-05-2018 - 08:17

Để giành những chiến thắng lớn đôi khi cần chấp nhận những rủi ro lớn. :)


#15 MoMo123

MoMo123

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 262 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2018 - 10:48

Mình xin đóng góp cho Topic một số bài:

i 16:Giả sử $f(n+1)=(-1)^{n+1}.n-2f(n)$ ; n=1,2,3,....Và f(1) =f(2016) . Tính $$ f(1)+f(2)+....+f(2015)$$

Bài 17: Cho P(x) =0là 1 phương trình trong đó P(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và có ít nhất 1 nghiệm nguyên. Giả sử $P(2)=13;P(10)=5$ Tính nghiệm của PT

Bài 18: Cho đa thức bậc 2000 thỏa mãn $f(n)=\frac{1}{n}$ ; n=1,2,...,2001. Tính $f(2002)$

Bài 19: (mình tham khảo của duylax2412)Cho đa thức $f(x)=x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+.... 1$ Có các hệ số dương . Chứng  nếu $f(x)$ có $n$ nghiệm thực thì $f(2) \geq 3^n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-05-2018 - 23:49


#16 MoMo123

MoMo123

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 262 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2018 - 11:16

 

 

Bài 11: Cho các đa th$P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c;Q(x)=x^{2}+2016x+2017$ tha mãn P(x) = 0 có ba nghim thc phân bit và  $P\left ( Q(x) \right )=0$ vô nghim. Chng minh rng $P(2017)> 1008^{6}$.

 

 

 

Thấy bài này là hay nhất, chém vậy

Gọi 3 nghiệm của đa thức $P(x) $ là $x_{1};x_{2};x_{3}$

$$\Rightarrow P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$$

$P(Q(x)) $ vô nghiệm -> $ PQ(x)) =(x^2+2016+2017-x_{1})(x^2+2016x+2017 -x_{2})(x^2+2016x+2017-x_{3})(1)$ vô nghiệm

Để (1) vô nghiệm thì mỗi biểu thức  $ (x^2-2016x+2017-x_{i}) $ với  $i=1,2,3$ vô nghiệm

$$ \Rightarrow \Delta <0 \Leftrightarrow 2016^2<4(2017-x_{i}) \rightarrow (2017-x_{i}) \geq 1008^2$$

$\Rightarrow P(2017) >1008^6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-05-2018 - 12:05


#17 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 18-05-2018 - 11:48

Bài 19: (mình tham khảo của duylax2412)Cho đa thức $f(x)=x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+.... 1$ Có các hệ số dương . Chứng  nếu $f(x)$ có $n$ nghiệm thực thì $f(2) \geq 3^n$

 Cảm ơn ĐHV MoMo123 đã tham gia topic của e :wub: mong anh giúp đỡ.

 E xin được giải bài toán tổng quát: Cho n thuộc N* và đa thức P(x)=$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ với các hệ số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}.$ Biết rằng P(x) có n nghiệm thực. CMR P(m)$\geq (m+1)^{n}$.

 Do $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\geq 0$ nên các nghiệm của P(x) đều ko dương và vì P(0)=1>0 nên các nghiệm của P(x) đều âm. Gọi các nghiệm đó là $-x_{1},-x_{2},...,-x_{n}$ ($x_{i}>0$, với mọi i= 1, 2, 3, ...,n). Khi đó

                          $P(x)=\coprod_{i=1}^{n}(x+x_{i})=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ nên $x_{1}x_{2}.....x_{n}=1$.

 Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 

                          $m+x_{i}=1+1+1...+1(m số 1)+x_{i}\geq (m+1)\sqrt[m+1]{x_{i}}$

                    => $P(m)=\prod_{i=1}^{n}(m+x_{i})\geq (m+1)^{n}.\sqrt[m+1]{x_{1}x_{2}...x_{n}}=(m+1)^{n.}$  

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-05-2018 - 12:04

  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#18 Korkot

Korkot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Far far away
  • Sở thích:Ngao du thiên hạ

Đã gửi 18-05-2018 - 11:52

Bài 10: Tìm các h s $b, c$ ca đa thc $P(x)=x^{2}+bx+c$ biết $P(x)$ có giá tr nh nht bng $-1$ khi $x=2.$

x=2 ta có $P(2)=4+2b+c=-1 \Rightarrow 2b+c=-5$

Ta có $P(x)= x^2+bx+c=(x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}+c \geq c-\frac{b^2}{4}$

GTNN của P(x) đạt được khi x=2 và $x+\frac{b}{2}=0$ hay b=-4 

$\Rightarrow c=3$


                The only way to learn mathematics is to do mathematics

                                        Paul Malmos


#19 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MATH

Đã gửi 18-05-2018 - 20:41

Bài 4: Khi chia đa thức $x^{1951}-1$ cho đa thức $x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1$ ta được một thương và phần dư. Hãy tìm hệ số của $x^{14}$ trong thương.
 

 Sau 1 ngày không thấy ai giải mình xin đc trình bày lời giải.

Ta có: $x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1=(x^{2}+1)(x^{2}+x+1)$=$\frac{x^{12}-1}{x^{8}-x^{7}-x^{6}+2x^{5}-2x^{3}+x^{2}+x-1}$.

            $x^{1951}-1=x^{7}(x^{12}-1)(x^{1932}+x^{1920}+...+x^{12}+1)+x^{7}-1$.

 => $\frac{x^{1951}-1}{x^{12}-1}=x^{1939}+x^{1927}+...+x^{7}+\frac{x^{7}-1}{x^{12}-1}$.

 Suy ra hệ số cần tìm trùng với hệ số của $x^{14}$ trong tích

            $(x^{1939}+...+x^{7}+\frac{x^{7}-1}{x^{12}-1})(x^{8}-x^{7}-x^{6}+2x^{5}-2x^{3}+x^{2}+x+1)$.

  => hệ số này rõ ràng phải bằng -1.


  " Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những ngôi sao thì bạn cũng sẽ ở giữa những vì tinh tú..."

                                                                                                            


#20 YoLo

YoLo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Không gian vô định
  • Sở thích:Làm những gì mình thích

Đã gửi 18-05-2018 - 23:12


Bài 13: Cho các đa thc $P(x)$ và $Q(x)$ tha mãn $P(x)=Q(x)+(x^2-x+1).Q(1-x)$ vi mi $ x \in \mathbb{R}$. Biết rng các h s ca $P(x)$ là các s nguyên không âm và $P(0)=$. Tính giá tr $Q(2017)$.

 

Bài 14:  Cho đa thc $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (vi $a,b,c,d$ là các s thc) tha mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $S=10P(4)+P(-2)$.

 

Bài 15: Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017)).

Bài 13: $P(0)=.$ là sao bạn

Bài 14 : $Q(x)=P(x)-x^{2}-2$

$P(x)$ là đa thức monic và bậc là 4 =>$Q(x)$ là đa thức monic và bậc là 4

$Q(1)=Q(2)=Q(3)=0$

=>$Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+a)(a\in \mathbb{R})$

=>$P(x)=...$

Thay vào tính nó tự triệt tiêu $a$ đi

Bài 15:$P(x)=Q(x)+Q(1-x)$

Thay $x$ bởi $1-x$=> $P(1-x)=Q(1-x)+Q(x)$

$P(0)=0=>P(1)=0$

=> tổng tất cả hệ số bằng 0

mà các hệ số là số tự nhiên => tất cả hệ số của $P(x)$ đều bằng nhau và bằng $0$

=>$P(x)=0\forall x$

 

Mình xin đóng góp cho Topic một số bài:

Bài 16: Giả sử $f(n+1)=(-1)^{n+1}.n-2f(n)$ ; n=1,2,3,....Và f(1) =f(2016) . Tính $$ f(1)+f(2)+....+f(2015)$$

Bài 17: Cho P(x) =0là 1 phương trình trong đó P(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và có ít nhất 1 nghiệm nguyên. Giả sử $P(2)=13;P(10)=5$ Tính nghiệm của PT

Bài 18: Cho đa thức bậc 2000 thỏa mãn $f(n)=\frac{1}{n}$ ; n=1,2,...,2001. Tính $f(2002)$

 

Bài 16: Thay $n$ với các giá trị từ$1$ đến $2015$ rồi cộng hết lại

Bài 17: Nghiệm đó là ước của hệ số tự do

Bài 18: đặt  $Q(x)=x.f(x)-1$

$Q(x)=0$ có 2001 nghiệm là $1,2,3,...,2001$ và có bậc là 2001

=>$Q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2001)$

=> $Q(2002)=...$

=>....


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 123

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh