5 replies to this topic

[use your brains]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c = 3$. Tìm $Min$ $P=a^2+b^2+2c^2+2abc$

[Huy Ma]

Bạn xem lại xem có sai đề không 
Đề đúng có phải là tìm MIN : $$a^{2} + b^{2} + c ^{2} + abc$

Edited by Huy Ma, 18-05-2018 - 17:43.

[thien huu]

Nếu đề sai thì mình xin sửa lại:$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$

Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 2 trong các số a-1, b-1, c-1 cùng dấu. Giả sử là a-1 và b-1.

Suy ra $c(a-1)(b-1)\geq 0 <=>abc\geq ac+bc-c$

Do đó: $2P=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)\geq 2(a^{2}+b^{2})+2c^{2}+2(ac+bc-c)\geq (a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}+(c^{2}-2c+1)-1=(a+b+c)^{2}+(c-1)^{2}-1\geq 8 <=>P\geq 4$

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1

[tr2512]

Đề chính xác mà nhỉ, mình tính được min khi $a,b,c$ thỏa mãn hệ thức $a+bc=b+ac=2c+ab$, không biết có phản ví dụ nào không

Edited by tr2512, 18-05-2018 - 22:06.

[use your brains]

Nếu đề sai thì mình xin sửa lại:$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$

Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 2 trong các số a-1, b-1, c-1 cùng dấu. Giả sử là a-1 và b-1.

Suy ra $c(a-1)(b-1)\geq 0 <=>abc\geq ac+bc-c$

Do đó: $2P=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)\geq 2(a^{2}+b^{2})+2c^{2}+2(ac+bc-c)\geq (a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}+(c^{2}-2c+1)-1=(a+b+c)^{2}+(c-1)^{2}-1\geq 8 <=>P\geq 4$

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1

Nguyên lí di rít lê còn dùng được trong bđt nữa hả bạn

[Huy Ma]

Đề chính xác mà nhỉ, mình tính được min khi $a,b,c$ thỏa mãn hệ thức $a+bc=b+ac=2c+ab$, không biết có phản ví dụ nào không

Neu nhu the thi ban tung loi giai di