Bài 22: Một tứ giác lồi có 4 cạnh là số tự nhiên sao cho tổng 3 số bất kỳ trong chúng đều chia hết cho 3 số còn lại. CM tứ giác có ít nhất 2 cạnh = nhau.
Bài này có nhiều cách để giải bằng phương pháp phản chứng. Sau đây là lời giải.
Gọi các cạnh của tứ giác là a,b,c,d. Không mất tính tổng quát ta giả sử $a>b>c>d$
$C_1$:
Ta có: $a<a+b+c<3a$ $\Rightarrow 2a< a+b+c+d<4a\Rightarrow a+b+c+d=3a (1)$
Theo $GT$ ta có: $\left\{\begin{matrix} a+b+c+d=xb (2) \\ a+b+c+d=yc (2) \end{matrix}\right. (x,y \in N^*)$
Do $a>b>c$ suy ra: $y>x>3$ $\Rightarrow y\geq 5, x\geq 4$
Cộng $(1)(2)(3)$ vế theo vế ta có: $3(a+b+c)=3a+xb+yc$ $\geq 3a+4b+5c\Rightarrow b+2c - 3d\leq 0 \Leftrightarrow (b-d)+2(c-d)\leq 0$ (Trái với giả thiết phản chứng)
hay tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau (đpcm)
$C_2$
Theo $GT$ Đặt $a+b+c=md, b+c+d=na, c+d+a=pb, d+a+b=qc$
Dễ dàng chứng minh được: $P=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}=1 (*)$
Do tứ giác lồi nên $a+b+c>d$ suy ra: m>1 hay $m\geq 2, n\geq 3, p\geq 4, q\geq 5\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}<1$ (Trái với $(*)$)
Từ đó suy ra đpcm
Mọi người nhiệt tình giải vô
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 20-05-2018 - 18:28