Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ lớp $10$ năm $2018-2019$


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 54 trả lời

#1 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$\boxed{\text{Directed Graph :V}}$

Đã gửi 18-05-2018 - 12:12

Chào các bạn, như các bạn đã biết, thời gian qua BĐT, SỐ HỌC, PT-HPT, HÌNH HỌC  đã ra mắt, và chúng ta còn thiếu phần tổ hợp và rời rạc. Dù ra mắt hơi muộn, nhưng mình mong nó vẫn sẽ có tầm ảnh hưởng nhất định như các topic khác. Một điều đáng nói nữa là phần này trong các đề thi chuyên chiếm rất ít điểm nhưng không vì thế mà nó sẽ kém phần thú vị. Chúc mọi người làm toán vui vẻ.

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

$+$ Không spam, làm loãng TOPIC

$+$ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải

$+$ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài

$+$ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác

$+$ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, em mong các anh chị sẽ chỉ đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé  :)

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn  :)

                                                                         -MoMo123-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-05-2018 - 17:13


#2 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$\boxed{\text{Directed Graph :V}}$

Đã gửi 18-05-2018 - 17:18

Sau đây là một số bài đầu tiên

Bài 1: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 4000 viết trên một hàng và được ngăn cách nhau bởi dấu phẩy(1,2,3...4000) Ta thực hiện các bước sau:

Mỗi lần ta xóa đi các số ở vị trí lẻ và tiếp tục viết các số còn lại như lần đầu, lại tiếp tục xóa đi các số ở vị trí lẻ. Sau số lần hữu hạn, tìm số cuối cùng

Bài 2: Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật kích thước 10x17 có thể xếp được thành dãy các hình tròn không chờm lên nhau sao cho tổng các bán kính của chúng =1000

Bài 3: Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn >1.  Chứng minh rằng không thể phủ cả 6 điểm này bằng 1 hình tròn bán kính =1

Bài 4: Xét các số nguyên $a,b,c \in (-10^6 , 10^6)$ sao cho trong đó có ít nhất 1 số khác 0. Chứng minh

$$|a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}| \geq \frac{1}{10^{21}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-05-2018 - 00:07


#3 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2018 - 18:14

Sau đây là một số bài đầu tiên

Bài 1: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 4000 viết trên một hàng và được ngăn cách nhau bởi dấu phẩy(1,2,3...4000) Ta thực hiện các bước sau:

Mỗi lần ta xóa đi các số ở vị trí lẻ và tiếp tục viết các số còn lại như lần đầu, lại tiếp tục xóa đi các số ở vị trí lẻ. Sau số lần hữu hạn, tìm số cuối cùng

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Nhận Thấy: Sau mỗi lần xoá số số hạng giảm đi 2 lần. Vị trí của các số sẽ bị dịch chuyển bằng với số dư của thương của số đó khi chia cho 2. Vì vậy số cuối cùng sẽ là số có dạng $2^n$ lớn nhất trong dãy $\Rightarrow n=2^{11}=2048$

 

p/s: Hơi lũng cũng :) Mong [TOPIC] phát triển :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 18-05-2018 - 18:59

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#4 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2018 - 18:38

Bài 3: Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn >1.  Chứng minh rằng không thể phủ cả 6 điểm này bằng 1 hình tròn bán kính =1

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Vẽ một lục giác nội tiếp $(O,1)$ như hình vẽ. Chia lục giác thành 6 tam giác đều 

$\Rightarrow$ mỗi cạnh của tam giác đều bằng 1.

Nếu có 2 điểm bất kì nằm trong cùng 1 tam giác thì khoảng cách giữa chúng $\leq 1$ (k/tm)

Suy ra: mỗi điểm nằm trong 1 tam giác đều khác nhau.  Gọi các điểm đó lần lượt là $A_1, A_2,...,A_6$ 

Ta có: $\widehat{A_1OA_2}+\widehat{A_2OA_3}+....+\widehat{A_6OA_1}=360^0$

$\Rightarrow$ sẽ tồn tại 1 góc $\leq 60^0$

Giả sử là $\widehat{A_kOA_{k+1}}\leq 60^0\Rightarrow A_kA_{k+1}\leq A_kO\leq 1$ (K/tm)

$\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (2).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 19-05-2018 - 23:51

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#5 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:Algebraic and enumerative combinatoric :V

Đã gửi 18-05-2018 - 18:43

Bài 5: Cho một số các hộp nhỏ chứa tổng cộng 64 quả bóng [số bóng ở mỗi hộp không nhất thiết khác nhau]. Ở mỗi bước; ta chọn hai hộp $A$ có $p$ quả bóng và $B$ có $q$ quả bóng [$p\le q$] và bỏ $p$ quả bóng từ $B$ sang $A$. Chứng minh sau một số hữu hạn bước như vậy; ta có thể bỏ hết tất cả các quả bóng vào cùng 1 hộp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 18-05-2018 - 18:43

  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 


#6 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 469 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 18-05-2018 - 18:56

Bài 6: Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất với nó. CMR: Qua 1 điểm có không quá 5 đoạn thẳng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-05-2018 - 22:38

                                                                           Tôi là chính tôi


#7 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 18-05-2018 - 19:30

Sau đây là một số bài đầu tiên

 

Bài 2: Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật kích thước 10x17 có thể xếp được thành dãy các hình tròn không chờm lên nhau sao cho tổng các bán kính của chúng =1000

 

Bài này nó cũng đúng với hình vuông $10 \times 10$

Chia hình vuông $10 \times 10$ thành $40000$ hình vuông con bằng nhau  cạnh $\frac{1}{20}$

Tổng các bán kính đường tròn nội tiếp là $4000.\frac{1}{40}=1000$

Dễ thấy các đường tròn này không chờm lên nhau

 

Bài 7:(Sưu tầm)

Các số nguyên từ $1$ đến $9$ được điền vào ô vuông $3 \times 3$ sao cho tổng mỗi hàng,mỗi cột và mỗi đường chéo là bội của $9$

Chứng minh số ở tâm hình vuông là bội của $3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 18-05-2018 - 19:42

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#8 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-05-2018 - 20:16

Bài 6: Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất với nó. CMR: Qua 1 điểm có không quá 5 đoạn thẳng

Bài này cũng là 1 bài khá quen thuộc. Giả sử điểm A có từ 6 điểm trở lên được nối

.Xét A nối 6 điểm với B,C,D,E,F,G theo thứ tự nhất định. Xét điểm C, vì C nối với A nên theo gt thì CA<CB.

TT thì AB<BC nên BC là cạnh lớn nhất trong tam giác ABC. $\Rightarrow \angle{BAC} >60$

CMTT ta có $\angle{CAD}>60; \angle{DAE}>60; \angle{EAF}>60;\angle{FAG}>60;\angle{GAB}>60$

Cộng các góc ở trên lại ta thấy tổng các góc xung quanh điểm A lớn hơn 360 và điều này vô lí.

Vậy ta có đpcm  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 18-05-2018 - 21:56

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#9 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 18-05-2018 - 20:51

Bài 8: Một tập số nguyên không âm ${x,y,z}$ với $z>y>x$ thỏa mãn ${z-y;y-x}={1699;1969}$ được gọi là tập đặc biệt . Chứng minh tập các số nguyên không âm có thể phân hoạch thành các tập đặc biệt

P/s: Số trên chỉ mang tính tượng trưng


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#10 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 18-05-2018 - 20:57

Bài 9 : Cho bảng ô vuông kích thước 2017x2018, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi. Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ ô đó một viên sỏi sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa viên sỏi).  Hỏi sau hữu hạn phép thực hiện các bước trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô hay không ? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-05-2018 - 17:49


#11 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 19-05-2018 - 10:29

Bài 10. Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh là cạnh nhỏ nhất của một tam giác vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.

 

Bài 11. Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.

 

Bài 12. Trên đường tròn cho 16 điểm được tô bởi một trong ba màu xanh hoặc đỏ hoặc vàng (mỗi điểm một màu). Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm trong 16 điểm trên được tô màu tím hoặc nâu (mỗi đoạn thẳng một màu). Chứng minh rằng với mọi cách tô màu ta luôn chọn được một tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu.
@MoMo123: Đã gộp


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-05-2018 - 12:12


#12 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-05-2018 - 11:04

Bài 11. Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.

$\boxed{\text{Bài 11}}$

Lấy 5 điểm bất kì được tô 2 màu $X$ và $Đ$.

Theo nguyên lí Drich-lê tồn tại 3 điểm cùng 1 một màu là $D, E,F$ tô màu $Đ$

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta DEF$

$TH_1$ Nếu $G$ tô màu $Đ$ thì $\Delta DEF$ thoả mãn

$TH_2$ Nếu $G$ tô màu $X$. Trên tia đối của tia $DG, EG, FG$ lấy $A,B,C$ sao cho $AD=3DG$, $BF=3EG$, $CF=3GF$

Ta có: $EF//BC$ suy ra: $\frac{EM}{MF}=\frac{BN}{NC}=1$ hay $N$ là trung điểm của $BC$ 

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Dễ dàng chứng minh được: $D$ là trọng tâm $\Delta AEF$

                                             $E$ là trọng tâm $\Delta BDF$

                                             $F$ là trọng tâm $\Delta CDE$

+) Nếu trong 3 điểm $A,B,C$ được tô màu $Đ$. Giả sử là $A$ suy ra: $\Delta AEF$ thoả mãn

+) Nếu cả 3 điểm $A,B,C$ được tô màu $X$ suy ra: $\Delta ABC$ thoả mãn.

Từ những $TH$ trên ta có $đpcm$

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 19-05-2018 - 11:25

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#13 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 19-05-2018 - 11:06

Bài 9 : Cho bảng ô vuông kích thước 2017x2018, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi. Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ ô đó một viên sỏi sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa viên sỏi).  Hỏi sau hữu hạn phép thực hiện các bước trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô hay không ? 

Mấy bài như thế này thường tô màu

Tô màu các ô trong bảng trên bởi các màu trắng đen xen kẽ (như bàn cô vua)

Mỗi lần thực hiên thao tác $T$ chênh lệch giữa số viên sỏi ô đen và ô trắng sẽ tăng thêm 4;hoặc giảm thêm 4 hoặc không giảm

Ban đầu chênh lệch số sỏi ô đen và ô trắng là $0$

Suy ra tại mọi thời điểm chênh lệch số sỏi ô đen và ô trắng luôn chia hết cho $4$ nên nếu có thể đưa hết sỏi về cùng một ô thì chênh lệch số sỏi ô trắng đen sẽ là $2017.2018$ chia hết $4$ (Vô lý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 19-05-2018 - 11:08

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#14 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$\boxed{\text{Directed Graph :V}}$

Đã gửi 19-05-2018 - 11:14

Bài 10. Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh là cạnh nhỏ nhất của một tam giác vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.

Bài 12. Trên đường tròn cho 16 điểm được tô bởi một trong ba màu xanh hoặc đỏ hoặc vàng (mỗi điểm một màu). Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm trong 16 điểm trên được tô màu tím hoặc nâu (mỗi đoạn thẳng một màu). Chứng minh rằng với mọi cách tô màu ta luôn chọn được một tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu.
 

 

Bài 10:

TH1 attachicon.gifgeogebra-export (9).png

TH2
attachicon.gifgeogebra-export (8).png
Lấy điểm A làm tâm, nối các đoạn thẳng tới các điểm còn lại. Ta tô đỏ một đoạn thẳng nếu nó là cạnh nhỏ nhất của một tam giác nào đó, tô xanh nếu nó là cạnh lớn nhất.Tồn tại 3 đoạn thẳng cùng màu. Giả sử là AB,AC,AD.
TH1: AB,AC,AD màu đỏ. Xét $\Delta BCD$ . Vì tam giác nào cũng có cạnh màu đỏ. Giả sử BC là màu đỏ. Từ đây suy ra $\Delta ABC$ có các cạnh cùng màu đỏ.
TH2: AB,AC,AD cùng màu xanh. Vì các $\Delta$ ABC;ACD;ABD cần có ít nhất 1 cạnh màu đỏ. $\rightarrow $ $\Delta BCD$ có các cạnh cùng màu đỏ.
Từ đây ta chứng minh được luôn tồn tại 1 tam giác có các cạnh cùng màu đỏ. Cạnh lớn nhất của tam giác này chính là đoạn thẳng cần tìm vì nó được tô đỏ

 

Bài 12 :

Ta có số điểm có cùng màu ít nhất là $[\frac{16}{3}]+1 =6$ điểm cùng màu. Đến đây sửu dụng bài toán 10, lí luận chắc chắn sẽ có 1 tam giác có 3 đỉnh cùng màu được tạo thành từ 3 điểm trên. Nên ta có ĐPCM



#15 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-05-2018 - 11:45

Xin đóng góp cho [TOPIC] một số bài :)

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Giả sử một bàn cờ hình chữ nhật có kích thước $3$x$7$ ô vuông được sơn 2 màu $Đ$ và $T$. Chứng minh rằng với cách sơn màu bất kì trong bàn cờ luôn tồn tại ít nhấtmột hình chữ nhật mà 4 ô ở góc được tô cùng một màu

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Chứng minh từ 6 số vô tỷ có thể chọn ra 3 số $a,b,c$ sao cho $a+b,b+c,c+a$ đều là số vô tỷ

$\boxed{\text{Bài 15}}$ (Trích để thi HSG tỉnh Hà Tĩnh)

Viết các số 1,2,3,4,5 lên bảng rồi thực hiện phép thay thế theo quy luật sau: ở mỗi bước nếu có 2 số $a,b$ nào đó thoả mãn $a-b\geq 2$ thì ta thay thế 2 số này bời 2 số $a-1, b+1$. Hỏi có thể thực hiện tối đa bao nhiêu bước trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 19-05-2018 - 17:19

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#16 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-05-2018 - 16:52

Xin đóng góp cho [TOPIC] một số bài :)

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Giả sử một bàn cờ hình chữ nhật có kích thước $3$x$7$ ô vuông được sơn 2 màu $Đ$ và $T$. Chứng minh rằng với cách sơn màu bất kì trong bàn cờ luôn tồn tại ít nhấtmột hình chữ nhật mà 4 ô ở góc được tô cùng một màu

Xét cạnh 3 ô vuông. Vì có 2 màu mà có 3 ô nên theo nguyên lí Dirichlet trên mỗi cạnh 3 ô vuông này có 2 ô cùng màu. Vậy 7 cạnh 3 ô vuông của hcn 3x7 này đều có 2 ô cùng màu Đ hoặc T nên theo nguyên lí Dirichlet có 4 cạnh có 2 ô vuông cùng màu và các ô vuông trên cạnh này có màu giống nhau  (chẳng hạn 4 cạnh mỗi cạnh đều có 2 ô vuông có màu T)

Xét ô vuông chính giữa mỗi cạnh. Ta thấy 2 ô vuông cùng màu có thể có 3 TH sau:1 ô là ô giữa ô còn lại bên phải ô giữa, 1 ô là ô giữa ô còn lại bên trái ô giữa và cả 2 ô đều khác ô giữa. Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 cạnh mà 4 ô vuông cùng màu đôi một nằm trên một đường thẳng  và  chúng tạo thành một hcn thoả đề. 

Qua hình vẽ, ta đã cm được luôn tồn tại 4 ô vuông như trên (hình vẽ chỉ mang tính tượng trưng).Và 4 ô được gạch chéo là 4 ô cùng màu

P/s đúng là không có hình không xong

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-05-2018 - 19:37

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#17 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$\boxed{\text{Directed Graph :V}}$

Đã gửi 19-05-2018 - 17:42

Xét cạnh 3 ô vuông. Vì có 2 màu mà có 3 ô nên theo nguyên lí Dirichlet trên mỗi cạnh 3 ô vuông này có 2 ô cùng màu. Vậy 7 cạnh 3 ô vuông của hcn 3x7 này đều có 2 ô cùng màu Đ hoặc T nên theo nguyên lí Dirichlet có 4 cạnh có 2 ô vuông cùng màu cùng màu với nhau (chẳng hạn 4 cạnh mỗi cạnh đều có 2 ô vuông có màu T)

Mặt khác, vị trí của 2 ô vuông cùng màu này chỉ có 3 TH: ở 2 góc, ô ở giữa và ô bên trái ô giữa, ô ở giữa và ô bên phải ô giữa.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet có 2 cạnh màu T mà vị trí 2 ô vuông cùng màu này giống nhau và 4 ô này kết hợp với các ô ở giữa tạo thành hcn có 4 ô ở góc cùng màu

Thật sự là mình ko hiểu ý bạn lắm :

Cách của mình như sau:

geogebra-export (12).png

Xét các cột có 3 ô $a_{1};a_{2};a_{3}$ như trên, ta có 8 trường hợp của mỗi cột :$(a_{1};a_{2};a_{3})=(Đ,Đ,Đ);(Đ,Đ,T);(Đ,T,Đ);(T,Đ,Đ),(T,T,T);(T,T,Đ);(T,Đ,T);(Đ,T,T)$

Ta có nhận xét: Nếu có 2 cột nào cùng dạng thì ta luôn có HCN cần tìm

Xét các trường hợp sau:

$*$ Nếu có 1 cột thuộc dạng cột thứ nhất,

$+$Nếu các cột còn lại có ít nhất 1 cột thuộc dạng $1,2,3,4$ thì ta có ĐPCM

$+$ Nếu các cột còn lại ko có cột nào thuộc dạng $1,2,3,4$ thì 6 cột còn lại mang  4 dạng , chắc chắn có ít nhất 2 cột có cùng dạng -> ĐPCM

Trường hợp dạng cột thứ 5 cũng xét tương tự

$*$ Nếu ko có cột nào thuộc dạng 1 hoặc 5

Từ đây ta suy ra 7 cột còn lại mang 6 dạng còn lại, nên tồn tại 2 cột có cùng dạng -> ĐPCM



#18 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$\boxed{\text{Directed Graph :V}}$

Đã gửi 19-05-2018 - 18:34

 

Bài 4: Xét các số nguyên $a,b,c \in (-10^6 , 10^6)$ sao cho trong đó có ít nhất 1 số khác 0. Chứng minh

$$|a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}| \geq \frac{1}{10^{21}}$$

Mình xin đưa ra lời giải:

Ta có nhận xét, nếu 3 số a,b,c là các số nguyên thỏa mãn tính chất $a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}=0$ thì $a=b=c=0$

Xét các số sau

 $$ M=a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5} \neq 0$$

$$ N= a+b\sqrt{3}-c\sqrt{5}\neq 0$$

$$ P= a-b\sqrt{3}+c\sqrt{5}\neq 0$$

$$ Q= a-b\sqrt{3}-c\sqrt{5} \neq 0$$

Ta có: $$|MNPQ| \geq 1(1)$$ 

Mặt khác sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối ta có

$$ |a\pm b\sqrt{3} \pm c\sqrt{5}| \leq |a|+|b\sqrt{3}|+|c\sqrt{5}| =|a|+|b|\sqrt{3}+|c|\sqrt{5} <10^6(1+\sqrt{3}+\sqrt{5})<10^7(2)$$

Từ (1) $\Rightarrow |M|\geq \frac{1}{|PNQ|} > \frac{1}{10^{21}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-05-2018 - 18:36


#19 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-05-2018 - 19:52

Sắp tới World Cup nên mình đóng góp 1 bài về bóng đá :)

Bài 16: Trong giải World Cup 2018,sau vòng loại, một bảng có kết quả như sau: A nhất, B nhì, C ba, D tư. Khán giả nhận xét nếu tính theo luật cũ thắng 2 điểm,hòa 1 điểm và thua 0 điểm thì thứ tự bị đảo lộn thành B nhất,A nhì, D ba, C tư.Cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết hiệu số bàn thắng thua bốn đội đều khác nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 20-05-2018 - 11:56

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#20 Le Hoang Anh Tuan

Le Hoang Anh Tuan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-05-2018 - 20:30

Bài 17: Cho bàn cờ gồm $n^{2}.n^{2}$  (n là số nguyên dương), trong đó mỗi ô đều được điền 1 số nguyên dương sao cho hiệu hai số kề nhau (2 ô có chung cạnh) là không vượt quá n. Chứng minh rằng bàn cờ có ít nhất $[\frac{n}{2}]+1$ ô cùng chứa 1 số, ở đây [a] ký hiệu là phần nguyên của số a


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Hoang Anh Tuan: 19-05-2018 - 20:31





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh