Chủ đề này có 2 trả lời

[mduc123]

Cho hàm số: $f(x) = x^n + 29x^{n - 1} + 2009$ . Chứng minh rằng $f(x)$  không thể phân tích thành tích của 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 18-05-2018 - 17:08

[mduc123]

Lời giải:

Giả sử $f(x)=P(x)Q(x)$, với $P(x)$ và $Q(x)$ là 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Đặt $P(x)=x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{0}$ và $Q(x)=x^{k}+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_{0}$ với$m,k\in \mathbb{N}^{*},m+k=n(1\leq m,k\leq n-1)$ và $a_{i},b_{j}\in \mathbb{Z}$ $ (i=\overline{0,m-1},j=\overline{0,k-1})$

Khi đó $a_{0}b_{0}=2009=7^{2}.41$. Suy ra trong 2 số $a_{0}$ và $b_{0}$ có đúng một số chia hết cho 41. Chẳng hạn đó là số $a_{0}$ còn $b_{0}$ không chia hết cho 41. Đồng nhất các hệ số từ đẳng thức $f(x)=P(x)Q(x)$, ta có hệ:

      $\left\{\begin{matrix} a_{0}b_{0}=2009 & & \\ a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0 & & \\ a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}\vdots 41 & & \\ a_{2}\vdots 41 & & \\ ... & & \end{matrix}\right.$

Nếu r là chỉ số lớn nhất trong các chỉ số i mà $a_{1}\vdots 41$, thì $r\leq m-1$ (để ý là $a_{m}=1$).

Suy ra $r\leq n-2,a_{r}\vdots 41,a_{r+1}\vdots 41$

Ở đây, hệ số của $x^{r+1}$ trong f(x) là  $h_{r+1}=a_{0}b_{r+1}+a_{1}b_{r}+...+a_{r+1}b_{0}$

Rõ ràng $h_{r+1}=a_{0}b_{r+1}+a_{1}b_{r}+...+a_{r+1}b_{0} \vdots 41$ nên $h_{r+1} \neq 0$

Suy ra $m\geq r+1\geq n-1\geq m$ nên $m=n-1$, tức $Q(x)=x+b_{0}$

Do đó $0=f(-b_{0})=(-b_{0})^{n}+9(-b_{0})^{n-1}+2009$ (vô lý, do $(-b_{0})^{n}+9(-b_{0})^{n-1}+2009$ lẻ do $b_{0}$ lẻ )

đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 19-05-2018 - 22:31

[suckadick193]