Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

For fun

Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$

 


                                                                           Tôi là chính tôi


#2
PugMath

PugMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

$abc\geqslant (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$ 

$abc\geqslant (3-2c)(3-2a)(3-2b)<=>9abc\geqslant 27-18(a+b+c)+4(ab+bc+ac)=-27+12(ab+bc+ac)$ 

ta có $\frac{ab+bc+ac}{(a+b)(a+c)(b+c)}-\frac{9abc}{72(ab+bc+ac)}\leqslant \frac{ab+bc+ac}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}+\frac{27-12(ab+bc+ac)}{72(ab+bc+ac)}=\frac{9}{8.3}+\frac{27}{72(ab+bc+ac)}-\frac{12}{72}\geqslant \frac{3}{8}+\frac{27}{72.3}-\frac{12}{72}=\frac{1}{3}$

----

sr ngược dấu ☺ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 19-05-2018 - 10:59

Trương Văn Hào ☺☺ 超クール

Kawaiiii ☺ :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

$abc\geqslant (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$ 

$abc\geqslant (3-2c)(3-2a)(3-2b)<=>9abc\geqslant 27-18(a+b+c)+4(ab+bc+ac)=-27+12(ab+bc+ac)$ 

ta có $\frac{ab+bc+ac}{(a+b)(a+c)(b+c)}-\frac{9abc}{72(ab+bc+ac)}\leqslant \frac{ab+bc+ac}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}+\frac{27-12(ab+bc+ac)}{72(ab+bc+ac)}=\frac{9}{8.3}+\frac{27}{72(ab+bc+ac)}-\frac{12}{72}\geqslant \frac{3}{8}+\frac{27}{72.3}-\frac{12}{72}=\frac{1}{3}$

----

sr ngược dấu ☺ 

Ngược  dấu rồi

Cách làm của mình đây:

Ta có hằng đẳng thức sau:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Sử dụng bđt AM-GM, ta được:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{8(ab+bc+ca)}{3}$ ( Do $a+b+c=3$)

$=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{8}$

Mặt khác:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)$  ( Do $a+b+c=3$)

$=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{1}{3}$

Ta có:

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$

$<=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}+\frac{a+b+c}{8}\leq \frac{1}{3}+\frac{3}{8}$

$<=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{17}{24}$

Đặt $\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}=x$ $(\frac{1}{3}\leq x\leq \frac{3}{8})$

Bđt $<=> x+\frac{1}{8x}\leq \frac{17}{24}$

$<=> \frac{1}{3}\leq x\leq \frac{3}{8}$ ( Điều này luôn đúng)

Do đó bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi cả ba số bằng 1 hoặc có 1 số bằng 0.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh