Chủ đề này có 67 trả lời

[hoangkimca2k2]

$$\boxed{\text{VMF}}$$

Đề 3

 

Bài 3:

Với $a.b.c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=2$

Tìm Max $M=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}$

 

 

Ta có: $ab+bc+ac+abc=2\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(a+1)(b+1)}=1$

Đặt $\frac{1}{a+1}=x;...$ suy ra $xy+yz+xz=1$

$M=\sum \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}+1}=\sum \frac{x}{x^{2}+1}=\sum \frac{x}{(x+y)(y+z)}$

$=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$....

Đến đây thì EZ rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 21-05-2018 - 16:19

[khanhdat1]

Câu 3 - Đề số 1.

Đặt $a=\overline{xy}$ và $b=\overline{ztu}$ với $9\leq a\leq 100;99\leq b\leq 1000$ .

Theo bài ra ta có $(a+b)^2=100a+b$ .

Đặt $t=a+b$  thì t là sô tự nhiên và$110\leq t\leq 1089$.

Từ đó ta được $t^2-1000t+999b=0$.

Phương trình bậc hai ẩn t phải có nghiệm nên $\Delta'=250000-999b\geq 0$, do đó $b\leq 250$.

Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình trên.

Khi đó theo định lí Vi – te ta được p+q=1000 và pq=999b.

Từ hệ thức trên ta suy ra được p và q là các số tự nhiên khác 0.

Như vậy từ pq=999b ta được pq chia hết cho 3, đồng thời ta lại có p+q chia 3 dư 1. Như vậy trong hai số tự nhiên p và q thì có một số chia hết cho 3, còn một số không chia hết cho 3.

Giả sử p chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Ta có 999=27.37 và (p,q)=1.

Từ đó ta được p chia hết cho 27 và q không chia hết cho 3.

Nếu p chia hết cho 37, khi đó ta được p chia hết cho 999, do đó p=999 và q=1. Khi đó thay vào hệ thức Vi – et trên ta được b=1, điều này vô lí. Do đó p chia hết cho 27 và không chia hết cho 37.

Từ đó ta có p=27m và q=37n với m, n là các sô nguyên dương.

Như vậy ta được 27m+37n=1000 hay n=999-27m-36n+1 .

Do đó n chia 9 có số dư là 1. Đặt n=9k+1 với k là số nguyên dương.

Đến đây ta được 27m+37(9k+1)=1000 nên suy ra k không lớn hơn 3. Mặt khác cũng từ hệ thức đó ta được ta được k chia 3 dư 2.

Do đó suy ra k=2, suy ra n=19. 

Đến đây ta tìm được m và từ đó tìm được p và q. 

Vậy các chữ số cần tìm là x=y=8;z=2;t=0;u=9.

P/S: Đang còn một cách nữa ra kết quả như vậy, không biết có đúng không. 

[conankun]

Câu 3: a)Tìm các chữ số $x,y,z,t,u$ thoả mãn điều kiện: 

 

$(\overline{xy}+\overline{ztu})^2=\overline{xyztu}$

 

Một cách giải khác:

Đặt $a=\overline{xy}, b=\overline{ztu}$ ta có: $(a+b)^2=1000a+b=(a+b)+999a$ $\Leftrightarrow (a+b)(a+b-1)=999a$ (1)

Lại có: $(a+b)^2$ $\leq 99999\Rightarrow a+b\leq 316$ (2)

Từ (1)(2) kết hợp với $(a+b,a+b-1)=1$ ta có: 

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a+b\vdots 27\\ a+b-1\vdots 37 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a+b\vdots 37\\ a+b-1\vdots 27 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

$TH_1$ $a+b=27m, a+b-1=37n (m,n>0)$

$\Rightarrow 27m=37n+1\Rightarrow m=37k+11, n=27k+8 (k\geq 0)$ (Phương trình vô định)

Thay vào (1) ta có: $a=m.n=(37k+11)(27k+8)$

Vì $10\leq a\leq 99\Rightarrow k=0\Rightarrow a=88, b=209 \Rightarrow \overline{xyztu}=88209$

Trường hợp còn lại tương tự ta cũng có: $a=m.n=(27k-8)(37k-11) (k \geq 1)$

suy ra: $a \geq 19.26>100$ (loại)

Vậy chỉ có một số thoả mãn là $\overline{xyztu}=88209$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 21-05-2018 - 21:50

[NguyenHoaiTrung]

Đề 3 

Câu 2b) 

$ \left\{\begin{matrix}x^3+x+2=y^3-3y^2+4y (1) & & \\ 2\sqrt{x+2}=y+2 (2) & & \end{matrix}\right.$

$(1)<=> x^3+x+1=y^3-3y^2+3y +1 +y<=>x^3+x=(y-1)^3+y-1=>x=y-1$

Thay $x=y-1$ vào $(2)$, ta được ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 21-05-2018 - 21:12

[khanhdat1]

Bài 1c, Đề số 4.

Từ giả thiết ta được $(xy+1)(yz+1)(zx+1)\vdots xyz$. Khai triển ta được $xy+yz+zx+1\vdots xyz$. Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên không mất tính tổng quát ta giả sử $x\geq y\geq z$.

Nếu $z=1$ khi đó ta được $xy+x+y+1\vdots xy$. Chú ý rằng x, y là các số nguyên dương nên ta suy ra được $x=y=1$ thỏa mãn.

Nếu $z\geq 2$. khi đó ta đặt $xy+yz+zx+1=kxyz$, với k nguyên dương.

Ta có $kxyz=xy+yz+zx+1<4xyz$ nên $k<4$. Từ đó ta được k = 1; 2; 3.

+ Với k=1, khi đó ta được $xy+yz+zx+1=xyz$  nên ta được $xyz=xy+yz+zx+1<4xy$, suy ra $z<4$ nên $z=2;z=3$.

- Với $z=2$ ta có phương trình $xy-2x-2y=1$.

- Với $z=3$ ta có phương trình $2xy-3x-3y=1$.

Giải các phương trình trên ta tìm được x và y.

Các trường hợp còn lại tương tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 21-05-2018 - 23:33

[BurakkuYokuro11]

 

Đề 3

Bài 1:a) Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $M=a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ là số nguyên. CMR M không phải số nguyên tố

Giả sử $p=a+b+2\sqrt{ab+c^2}$  là số nguyên tố  , khi đó $2\sqrt{ab+c^2}$ là số hữu tỉ hay $ab+c^{2}$ là số chính phương 

Đặt d = $ab+c^{2}$ (d $\epsilon$ N*) thì d>c và $p = a+b+2d$
 

                              $a \equiv -b-2d (mod p)$

và

                                $d^{2} - c^{2} \equiv - b^{2} -2bd (mod p)$

 

=))))         $d^{2} + b^{2} + 2bd -c^{2} \equiv 0 (mod p)$  hay $(b+d-c)(b+d+c)$ chia hết cho $p$ .Do đó$b+d+c$ hoặc $b+d-c$ chia hết cho $p$ .Trong cả 2 trường hơp 
b+d+c $\geq p = a+b+2d$
Hay $a+d-c$ <0 .Mâu thuẫn vì d>c .Suy ra .....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 21-05-2018 - 22:56

[Tea Coffee]

Đề 4:                                        

Câu 4: (1 điểm) Cm ko tồn tại số tự nhiên a sao cho:

a) $a^2+a=2010^{2009}$

b)$a+a^2+a^3=2009^{2010}$

 

a) Có: $a(a+1)=(2.3.5.7)^{2009}$ có $2,3,5,7$ là số nguyên tố.

Do $(a,a+1)=1$ và $a<a+1$.

$=>\begin{bmatrix}a=1,a+1=(2.3.5.7)^{2009} \\ a=(2.3)^{2009},a+1=(5.7)^{2009} \\... \end{bmatrix}$

$=>(a+1)-a>1$

$=>$ $Q.E.D$

b) $a(a^{2}+a+1)\equiv 0,2(mod3)$

$2009^{2010}\equiv 1(mod3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-05-2018 - 23:30

[MoMo123]

a) Có: $a(a+1)=(2.3.5.7)^{2009}$ có $2,3,5,7$ là số nguyên tố.

Do $(a,a+1)=1$ và $a<a+1$.

$=>\begin{bmatrix}a=1,a+1=(2.3.5.7)^{2009} \\ a=(2.3)^{2009},a+1=(5.7)^{2009} \\... \end{bmatrix}$

$=>(a+1)-a>1$

$=>$ $Q.E.D$

b) $a(a^{2}+a+1)\equiv 0,2(mod3)$

$2009^{2010}\equiv 1(mod3)$

Cách giải khác của mình

a)

$$ a^2+a=2010^{2009}$$

$$<=> (2a+1)^2=4.2010^{2009}+1$$

$$4.2010^{2009} +1\equiv 4+1=5 (mod7)$$ 

Theo nguyên tắc số chính phương,không tồn tại số chính phương m sao cho $m=7k+5 (k\in N)$

Từ đây suy ra không tồn tại a

b)

$$a(a^2+a+1)=2009^2010$$

Vì $(a,a^2+a+1)=1\rightarrow a;a ^2+a+1 \text{đều là số chính phương}$

Dễ dàng tìm được $a=0$ ,thay vào ta thấy không thõa mãn ->....

[Tea Coffee]

Đề 4:                                        

      b)Tìm 2 số nguyên sao cho khi cộng chúng với nhau, khi lấy số lớn trừ số nhỏ,khi nhân chúng với nhau khi chia số lớn cho số nhỏ rồi cộng tất cả lại ta được 11749

 

Gọi số cần tìm là $x,y(x,y\epsilon \mathbb{Z};y\neq 0;\left | x \right |> \left | y \right |)$

Có: $(x+y)+(x-y)+x.y+\frac{x}{y}=11749$

Do $(x+y),(x-y),xy,11749\epsilon \mathbb{Z}=>\frac{x}{y}\epsilon \mathbb{Z}=>x\vdots y$

$x=yk(k\epsilon \mathbb{Z})=>y(k+1)+y(k-1)+y^{2}.k+k=11749<=>k(y+1)^{2}=11749=1.11749=31.379$

$=>(y+1)^{2}=1=>y=-2=>x=-2.11749=-23498$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 22-05-2018 - 06:59

[khanhdat1]

Đáp án bài hình đề số 2.

a) Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{ABC}$ và tứ giác ABOC nội tiếp nên ta được $\widehat{BDC}=\widehat{AOC}$ nên tam giác DKC đồng dạng với tam giác OCA, điều này dẫn đến $CK.OC=DK.AC$. Ta lại có $\widehat{BDC}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$ nên tam giác BCD cân tại B. Suy ra $\widehat{DBC}=2\widehat{OBC}$. Mà ta lại có $\widehat{DBC}=2\widehat{BAO}$. Từ đó suy ra được $\widehat{DBC}=\widehat{BAC}$.

Tam giác BKC vuông tại K nên suy ra  $\widehat{DBC}+\widehat{MBA}=\widehat{DBC}+\widehat{BCK}=90^0$.Lại do tam giác ABM vuông tại M nên $\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=90^0$ nên suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{DBC}$.Đến đây thì ta suy ra được AB là phân giác của góc $\widehat{MAC}$.

b) Chứng minh tứ giác CHNA nội tiếp kết hợp với $\widehat{BAC}=\widehat{DBC}$ ta suy ra được BD//MH.

Chứng minh tứ giác BKCN nội tiếp kết hợp với $\widehat{ABC}=\widehat{BEC}$ ta suy ra được NK//BE.

c) Ta có hai tam giác CHI và MHB đồng dạng với nhau nên $IH.MH=CH.BH$. Hai tam giác BHE và GHC có đồng dạng với nhau nên ta có $IH.MH=EH.GH$. Từ đó suy ra tam giác EHM đồng dạng với tam giác IHG. Mà do MH//BD nên $\widehat{EMH}=\widehat{EBD}=\widehat{EGD}$ nên ta được $\widehat{EGD}=\widehat{IGH}$ suy ra hai tia GI và GD trùng nhau nên ba điểm G, I, D thẳng hàng.

d) Giả sử ES cắt MH tại P. Theo như trên ta có tam giác EHM đồng dạng với tam giác IHG nên $\widehat{HIG}=\widehat{MEG}$.

Mà $\widehat{MEG}=\widehat{ABG}$ nên ta được tứ giác BIGN nội tiếp.

Từ đó ta được $\widehat{PNG}=\widehat{HNG}$  nên ta được $\widehat{PNG}=\widehat{GES}$.

Từ đó ta suy ra được tam giác HEP đồng dạng với tam giác ABG nên $HP.HN=HE.HG$.

Ta lại có $HE.HG=HB.HC$  và $HB^2=OH.AH$ nên $HB.HC=OH.AG$.

Từ đó suy ra HP.HN=OH.AH, do đó suy ra tam giác OHP đồng dạng với tam giác NHA nên $\widehat{OPH}=\widehat{OAB}=\widehat{OCH}$ suy ra tứ giác CHOP nội tiếp nên OP vuông góc với PC.

Tứ giác CHOP nội tiếp. Từ đó ta suy ra được ba điểm B, O, P thẳng hàng. Ta cũng chứng minh được P nằm trên BD

Giả sử OB cắt CD tại J. Theo như trên ta có OB vuông góc với CD mà tam giác OCD cân nên OJ vuông góc với CJ. Ta có CP vuông góc với OB nên CP vuông góc với JO và CJ vuông góc với OJ. Từ đó suy ra J trùng với P, do đó P cũng thuộc CD.

Từ đó ta được ES, CD, OB, MH cùng đồng quy tại P.

P/s: Mình không biết vẽ hình và không biết đánh có sai chỗ nào không nữa, mọi người tự kiểm tra nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 22-05-2018 - 00:25

[Tea Coffee]

 

Đề 3

Bài 1:b) Tìm các chữ số $a,b,c,d$ sao cho 

$\underbrace{a...a}_{n}\underbrace{b...b}_{n}\underbrace{c...c}_{n}=(\underbrace{d...d}_{n}+1)^3$

 

Bài này lạ nha 

Hỏi cái đề

$\overline{\underbrace{aaa...a}} .\overline{\underbrace{bbb...b}}.\overline{\underbrace{ccc...c}}$ hay $\overline{\underbrace{aaa...a}\underbrace{bbb...b}\underbrace{ccc...c}}$?

@MoMo123: Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 22-05-2018 - 10:44

[BurakkuYokuro11]

Đề 4:                                        

 

      Bài 2 : a)  Cho số thực a thỏa $0 \leq a \leq 1$. Tìm GTLN và GTNN của:

              $T=\frac{a}{2-a} + \frac{1-a}{1+a}$

   

 

$T = \frac{ 2a^{2} -2a + 2}{2+a- a^2 }$
Đến đây có thể CM $\frac{2}{3} \leq T \leq 1$ bằng cách phân tích thành nhân tử  hoặc sử dụng $\Delta$
Max T =1 khi x= 0 hoặc x= 1 
Min T =$\frac{2}{3}$ khi x= $\frac{1}{2}$

[BurakkuYokuro11]

 

Đề 3 Bài 4:

Cho $\Delta ABC$ nhọn với $AB<AC$ . E,F lần lượt là trung điểm CA,AB. Đường trung trực đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử tồn tại điểm P nằm trong góc EAF và nằm ngoài $\Delta EAF$ sao cho$\angle PEC =\angle DEF$ và $\angle PFB=\angle DFE$ . PA cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta PEF$ tại Q khác P.

a) CMR $\angle EQF=\angle BAC+\angle EDF$

b) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp $\Delta PEF$ cắt đường thẳng $CA, AB$ lần lượt tại M,N. Chứng minh C,M,B,N đồng viên , gọi tâm của đường tròn này là $(K)$

c) Chứng minh $(K) $ tiếp xúc với đường tròn $\Delta AEF$

 

a. Vì tứ giác PEQF nội tiếp (gt) nên ta có : 
$\angle EQF = 180 - \angle EPF = \angle PEF + \angle PFE = \angle CED + \angle BFD = (\angle EDA + \angle EAD)+ (\angle DAF + \angle FDA)= \angle BAC + \angle EDF$

Vậy ....

b.KMTTQ : N nằm trên tia đối tia BA còn M nằm giữa A,C .Ta có : 

$\angle MNB = 180 - \angle NPF - \angle PFN = 180 -\angle PEF - \angle DFE = 180- \angle CED - \angle DEF = 180 - \angle FEC = \angle FEA = \angle ACB$

Suy ra .....
 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 28-05-2018 - 23:27

[Tea Coffee]

Đề 4:                                        
      Câu 1: (1,5 điểm)
      a)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{xy-3}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2} \\ \frac{y-2}{xy-4}= \frac{3-x-y}{7-x^2-y^2} \end{matrix}\right.$
  

Mình xin trình bày lại đáp án câu này. Thấy bạn Roro... làm đến được đó rồi mà bỏ thì tiếc quá.

Ta có hệ: 

$\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{xy-3}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2}(1) \\ \frac{y-2}{xy-4}= \frac{3-x-y}{7-x^2-y^2} (2)\end{matrix}\right.$

Xét phương trình (1) $\frac{x-1}{xy-3}=\frac{3-x-y}{7-x^{2}-y^{2}}=\frac{(x-1)+(3-x-y)}{(xy-3)+(7-x^{2}-y^{2})}=\frac{2-y}{xy+4-x^{2}-y^{2}}$

Kết hợp (2) $=>\frac{2-y}{xy+4-x^{2}-y^{2}}=\frac{y-2}{xy-4}<=> \begin{bmatrix}y-2=0 \\ xy+4-x^{2}-y^{2}=4-xy \end{bmatrix}$

+) $y=2=>\frac{x-1}{2x-3}=\frac{1-x}{3-x^{2}}=>x=...$

+) $xy+4-x^{2}-y^{2}=4-xy<=>(x-y)^{2}=0<=>x=y$ thế vào (1)

$\frac{x-1}{x^{2}-3}=\frac{3-2x}{7-2x^{2}}<=>x^{2}-x-2=0<=>\begin{bmatrix}x=y=2 \\ x=y=-1 \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 22-05-2018 - 07:33

[MoMo123]

Giả sử $p=a+b+2\sqrt{ab+c^2}$  là số nguyên tố  , khi đó $2\sqrt{ab+c^2}$ là số hữu tỉ hay $ab+c^{2}$ là số chính phương 

Đặt d = $ab+c^{2}$ (d $\epsilon$ N*) thì d>c và $p = a+b+2d$
 

                              $a \equiv -b-2d (mod p)$

và

                                $d^{2} - c^{2} \equiv - b^{2} -2bd (mod p)$

 

=))))         $d^{2} + b^{2} + 2bd -c^{2} \equiv 0 (mod p)$  hay $(b+d-c)(b+d+c)$ chia hết cho $p$ .Do đó$b+d+c$ hoặc $b+d-c$ chia hết cho $p$ .Trong cả 2 trường hơp 
b+d+c $\geq p = a+b+2d$
Hay $a+d-c$ <0 .Mâu thuẫn vì d>c .Suy ra .....

Bài này còn có một cách giải khác:

Sử dụng bổ đề nếu $ab=cd$ thì $a+b+c+d$ là hợp số

Chứng minh: Giả sử a+b+c+d là số nguyên tố, ta có:

Đặt $$P=a+b+c+d $$ 

$$=\frac{cd}{b}+b+c+d =\frac{(b+c)(b+d)}{b}$$

$$ <=> P.b=(b+c)(b+d)$$

Vì P là số nguyên tố$\begin{bmatrix}b+c\vdots P & & \\ b+d\vdots P & & \end{bmatrix}$

Vì $b+c$ hay $ b+d$ đều $<P$ nên mâu thuẫn với (1) . Từ đây suy ra giả sử sai.

Quay trở lại bài toán .

Đặt $\sqrt{ab+c^2} =m \rightarrow ab=(m-c)(m+c)$ Đặt $\left\{\begin{matrix}m-c=x & & \\ m+c=y & & \end{matrix}\right.$

$x+y=2m$

$$\Rightarrow ab=xy, 2m=x+y$$

$$ a+b+2\sqrt{ab+c^2}=a+b+2m=a+b+x+y$$

Sử dụng bổ đề trên, có $ab=xy$ $-> a+b+x+y$ là hợp số

hay $$ a+b+2\sqrt{ab+c^2} $$ là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 22-05-2018 - 11:34

[Korkot]

$$\boxed{\text{VMF}}$$

Đề 3

Bài 1:

b) Tìm các chữ số $a,b,c,d$ sao cho  $\overline{\underbrace{a...a}_{n}\underbrace{b...b}_{n}\underbrace{c...c}_{n}}=(\overline{\underbrace{d...d}_{n}}+1)^3$

 

Bài này dùng máy tính bỏ túi là đơn giản nhất

Xét $n \geq 2$. Xét các số dạng $(\overline{dd}+1)^3$ xem chúng có 2 chữ số tận cùng giống nhau để thỏa $\overline{\underbrace{a...a}_{n}\underbrace{b...b}_{n}\underbrace{c...c}_{n}}$ có 2 chữ số tận cụng giống nhau

Ở đây tạm thời quy ước $a,d \neq 0$ (nếu = 0 xét TH đã luôn ấy)

Xét các số $12^3;23^3;34^3;45^3;56^3;67^3;78^3;89^3$ (nếu $d = 9$ thì VP =$ 10^{3n+1}$ > VT) ta thấy ko có số nào có 2 chữ số tận cùng giống nhau suy ra n=1.

Khi đó VT là 1 số có 3 chữ số nên ta có $ 999 \geq (d+1)^3 \geq 100$

nên $  8 \geq d \geq 4$

Vậy các số a,b,c,d thỏa là $a,b,c,d \in N* ; a,b,c,d <10, 4 \leq d \leq 8$ và $\overline{abc}=(d+1)^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 22-05-2018 - 21:39

[Korkot]

$$\boxed{\text{VMF}}$$

Đề 3

Bài 2:a)Giải phương trình 

$$\frac{x^2}{3}+\frac{48}{x^2} =10(\frac{x}{3}-\frac{4}{x})$$

 Đkxđ ...

Vt= $3(\frac{x^2}{9}+\frac{16}{x^2}) = 3((\frac{x}{3}-\frac{4}{x})^2+\frac{8}{3})$

Đặt $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}= a$. Pt đã cho tương đương

$3a^2+8=10a$

$\Leftrightarrow 3a^2-10a+8=0$

Giải pt được a=2 hoặc a=$\frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2$ hoặc $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow x^2-6x-12=0$   hoặc $x^2-4x-12$

Đến đây đặt Delta rồi giải rồi suy ra:

$S= (3+\sqrt{21}; 3-\sqrt{21}; 6; -2)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 22-05-2018 - 12:27

[MoMo123]

Câu 5: Cho 20 số nguyên dương đầu tiên. Tìm số k nhỏ nhất sao cho sau mỗi lần lấy k số ra khỏi 20 số trên ta luôn chọn được 2 số a,b sao cho a+b là số nguyên tố

 

Lời giải:

Gọi tập 20 số nguyên đã cho là A.Nếu ta lấy >9 số thì tồn tại cách lấy 10 số chẵn và thêm vài số lẻ (nếu được) . Khi đó trong tập A chỉ còn lại các số lẻ và tổng của từng số đôi một là số chẳn>2 . Khi đó không  có tổng nào là số nguyên tố.

Ta cm k lớn nhất=9.Ta chia 20 số thành 10 cặp như sau : (1,2);(20,3);(19,4);...(12,11)

Ta thấy tổng mỗi cặp đều bằng 3 hoặc 23 là 2 số nguyên tố.

Ta lấy 9 số thì theo nguyên lí Dirichlet luôn tồn tại 2 số trong cùng một cặp và tổng 2 số này là số nguyên tố.

Vậy k=9 là số lớn nhất cần tìm

Nếu lấy 9 số là 2,4,6,,,18 thì vẫn chưa thỏa mãn yêu cầu trên

Cách giải của mình

Ta có nhận xét, nếu $k\leq 10$ thì với mỗi cách lấy toàn các số chẵn ra từ tập, ta vẫn chưa có yêu cầu trên

Xét k=11, chia 20 số trên thành các tập hợp:$(1,2);(3,4);(5,8);(6,7);(9,10);(11,12);(13,16);(14,15);(17,20);(18,19)$

Ta thấy rằng tổng 2 số trong cùng 1 tập hợp luôn có giá trị là 1 số nguyên tố. Khi lấy 11 số từ tập hợp 20 số trên, luôn tồn tại 2 số thuộc cùng 1 tập hợp con (thỏa mãn yêu cầu đề ra).

k nhỏ nhất nên $k=11$

[khanhdat1]

Mình xim làm bài 2b - Đề số 4.

Gọi hình vuông đã cho là ABCD. Gọi M, N, P, Q theo tứ tự là tâm các đường tròn tiếp xúc nhau có đường kính theo thứ tự nằm trên AB, BC, CD, DA và có bán kính theo thứ tự là MB, NC, PD, QA. Do các đường tròn tiếp xúc với nhau nên các đường nối tâm MN, NP, PQ, QM đi qua các tiếp điểm. Từ đó suy ra $MN=NP=PQ=QM=4cm$. Trong tam giác vuông MBN có $MN=4cm$ và $MB=2cm$ nên suy ra tam giác MNB là nửa tam đều. Đến đây ta suy ra được MNPQ là hình vuông. Do đó theo định lí Pitago ta tính được $AM=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.

Từ đó suy ra $AB=AM+MB=2\sqrt{3}+2$. Đến đây thì ta tính được diện tích hình vuông.

P/s: Mình làm như vậy không biết có sai không. mội người xem và góp ý giùm nhé Mình cũng không biết đăng hình vẽ nên mọi người thông cảm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhdat1: 23-05-2018 - 11:41

[Korkot]

Đề 4:
Câu 1: (1,5 điểm)
a)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{xy-3}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2} \\ \frac{y-2}{xy-4}= \frac{3-x-y}{7-x^2-y^2} \end{matrix}\right.$
pt đầu =$\frac{x-1+3-x-y}{xy-3+7-x^{2}-y^{2}}=\frac{2-y}{xy+4-x^{2}-y^{2}}=\frac{y-2}{xy-4}$
$\Leftrightarrow x^{2}+y{2}-xy-4=xy-4 hay (x-y)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y. $
$Đk( xy khác 4,3; x^{2}+y^{2} khác 7)
( chịu rồi @@)

 

 

Mình xin trình bày lại đáp án câu này. Thấy bạn Roro... làm đến được đó rồi mà bỏ thì tiếc quá.

Ta có hệ: 

$\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{xy-3}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2}(1) \\ \frac{y-2}{xy-4}= \frac{3-x-y}{7-x^2-y^2} (2)\end{matrix}\right.$

Xét phương trình (1) $\frac{x-1}{xy-3}=\frac{3-x-y}{7-x^{2}-y^{2}}=\frac{(x-1)+(3-x-y)}{(xy-3)+(7-x^{2}-y^{2})}=\frac{2-y}{xy+4-x^{2}-y^{2}}$

Kết hợp (2) $=>\frac{2-y}{xy+4-x^{2}-y^{2}}=\frac{y-2}{xy-4}<=> \begin{bmatrix}y-2=0 \\ xy+4-x^{2}-y^{2}=4-xy \end{bmatrix}$

+) $y=2=>\frac{x-1}{2x-3}=\frac{1-x}{3-x^{2}}=>x=...$

+) $xy+4-x^{2}-y^{2}=4-xy<=>(x-y)^{2}=0<=>x=y$ thế vào (1)

$\frac{x-1}{x^{2}-3}=\frac{3-2x}{7-2x^{2}}<=>x^{2}-x-2=0<=>\begin{bmatrix}x=y=2 \\ x=y=-1 \end{bmatrix}$

Đáp án bài 1a): Xét xy-3+xy-4=0 thì dễ dàng cm x-1=y-2

$\Leftrightarrow 3-x-y=0$ Kết hợp cả 2 pt suy ra x-1=0 và y-2=0 hay x=1;y=2 (không thỏa đk)

Xét TH còn lại.Từ 2 pt ta có: $\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2}=\frac{x-1+y-2}{xy-3+xy-4}=\frac{3-x-y}{7-2xy}$

3-x-y= 0 làm tt TH đầu có x=1;y=2

$3-x-y \neq 0$ thì ta có $7-2xy=7-x^2-y^2$ hay x=y

Thay vào pt thứ nhất có $\frac{x-1}{x^2-3}=\frac{x-2}{x^2-4}$

Đặt đk rồi giải, ta được x=2 (loai) hay x=-1

$\Rightarrow$ x=y=-1

Vậy  nghiệm của hpt (-1;-1),(1;2)

P/S:  Các bạn nhớ lưu ý những chỗ được tô đỏ để tránh bị mất điểm uổng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 23-05-2018 - 06:16