Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 20-05-2018 - 14:16
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$
Một bài toán quá xưa
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có:
$$\sqrt{(a+b)(a+c)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$$
$$\Rightarrow \sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} = 1$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 20-05-2018 - 14:21
Cách khác:
Đặt $\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=x, \frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}=y,\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}=z$
$=> x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1$
Bđt cần chứng minh $<=> \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\leq 1$
Bằng cách quy đồng rồi rút gọn, ta được:
$3xyz+2(xy+yz+zx)+(x+y+z)\leq xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1$
$<=> xy+yz+zx\leq 1-2xyz=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$<=> xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$
Sau đây là một cách khá lạ chứng minh BĐT bằng phương pháp liên hợp
$\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\sum \frac{a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)}{(a+b)(a+c)-a^2}=\sum \frac{a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)}{ab+bc+ca}$
Ta lại có:
$a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)\leq a.\left ( \frac{2a+b+c}{2}-a \right )=\frac{ab+ac}{2}$
Suy ra $\sum \frac{a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)}{(a+b)(a+c)-a^2}\leq \frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 20-05-2018 - 21:00
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh