Chủ đề này có 3 trả lời

[use your brains]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi use your brains: 20-05-2018 - 14:16

[tr2512]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$

Một bài toán quá xưa

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có:

$$\sqrt{(a+b)(a+c)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$$

$$\Rightarrow \sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} = 1$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 20-05-2018 - 14:21

[Duy Thai2002]

Cách khác:

Đặt $\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=x, \frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}=y,\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}=z$

$=> x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1$

Bđt cần chứng minh $<=> \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\leq 1$

Bằng cách quy đồng rồi rút gọn, ta được:

$3xyz+2(xy+yz+zx)+(x+y+z)\leq xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1$

$<=> xy+yz+zx\leq 1-2xyz=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$<=> xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm.

[Khoa Linh]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$

Sau đây là một cách khá lạ chứng minh BĐT bằng phương pháp liên hợp   

$\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\sum \frac{a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)}{(a+b)(a+c)-a^2}=\sum \frac{a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)}{ab+bc+ca}$

Ta lại có: 

$a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)\leq a.\left ( \frac{2a+b+c}{2}-a \right )=\frac{ab+ac}{2}$

Suy ra $\sum \frac{a(\sqrt{(a+b)(a+c)}-a)}{(a+b)(a+c)-a^2}\leq \frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 20-05-2018 - 21:00