Chủ đề này có 5 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 

  $a^2+b^2+c^2 \leq 5$ 

 

[DOTOANNANG]

Giả sử $b= \min\left \{ a,\,b,\,c \right \}$

 

Ta có:

 

$$5- a^{2}- b^{2}- \left \{ 3- a- b \right \}^{2}= \frac{1}{2}\left [ \underbrace{\left \{ -3\,b^{2}+ 6\,b+ 1 \right \}- \left \{ 2\,a+ b- 3 \right \}^{2}}_{a\leqq 2 } \right ]\geqq \underbrace{2\,b\left \{ 1- b \right \}}_{b= \min\left \{ a,\,b,\,c \right \}}\geqq 0$$

[MoMo123]

 

Cho các số $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 

  $a^2+b^2+c^2 \leq 5$ 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $$a\leq b\leq c \rightarrow c\geq 1 \geq b-1$$

Xét $$a^2+b^2+c^2-5$$

$$=a^2+(b^2-1)+(c^2-4) $$

$$= a(a-b-1) +(b+1)(a+b-1)+(c-2)(c+2) $$

$$=a(a-b-1) +(c-2)(c-b+1) \leq 0$$

$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5$$

Dấu bằng xảy ra tại $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị của nó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 21-05-2018 - 11:25

[DOTOANNANG]

Tổng quát hóa:

 

$\max\left \{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \mid a+ b+ c= 3,\,0\leqq a,\,b,\,c\leqq g  \right \}=\left\{\begin{matrix} 6\left \{ g-2 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,1\leqq g\leqq \frac{3}{2} \\ 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g> 3\\ 2\left \{ g- 3 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}<g\leqq 3\end{matrix}\right.$

 

[MoMo123]

 

Tổng quát hóa:

 

$\max\left \{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \mid a+ b+ c= 3,\,0\leqq a,\,b,\,c\leqq g  \right \}=\left\{\begin{matrix} 6\left \{ g-2 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,1\leqq g\leqq \frac{3}{2} \\ 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g> 3\\ 2\left \{ g- 3 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}<g\leqq 3\end{matrix}\right.$

 

Em nghĩ bài toán tổng quát phải ntn

Cho các số $a,b,c \in [n-1;n+1]$ và $a+b+c=3n$ 

Chứng minh $$ a^2+b^2+c^2 \leq 3n^2+2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 21-05-2018 - 20:13

[DOTOANNANG]

 

Tổng quát hóa:

 

$\max\left \{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \mid a+ b+ c= 3,\,0\leqq a,\,b,\,c\leqq g  \right \}=\left\{\begin{matrix} 6\left \{ g-2 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,1\leqq g\leqq \frac{3}{2} \\ 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g> 3\\ 2\left \{ g- 3 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}<g\leqq 3\end{matrix}\right.$

 

 

Cho $t_{i} \in \left [ 0,\,2\,k \right ]$ và $\sum\limits_{i= 1}^{3} t_{i}= 3$. Khi đó:

 

$${t_{1}}^{n}+ {t_{2}}^{n}+ {t_{3}}^{n} \leqq \left ( 2\,k \right )^{n}+ k^{n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 07-07-2018 - 15:08