Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^2+b^2+c^2 \leq 5$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 21-05-2018 - 01:03

Cho các số $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 
  $a^2+b^2+c^2 \leq 5$ 
 

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 21-05-2018 - 08:28

Giả sử $b= \min\left \{ a,\,b,\,c \right \}$

 

Ta có:

 

$$5- a^{2}- b^{2}- \left \{ 3- a- b \right \}^{2}= \frac{1}{2}\left [ \underbrace{\left \{ -3\,b^{2}+ 6\,b+ 1 \right \}- \left \{ 2\,a+ b- 3 \right \}^{2}}_{a\leqq 2 } \right ]\geqq \underbrace{2\,b\left \{ 1- b \right \}}_{b= \min\left \{ a,\,b,\,c \right \}}\geqq 0$$



#3 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-05-2018 - 11:25

 

Cho các số $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 
  $a^2+b^2+c^2 \leq 5$ 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $$a\leq b\leq c \rightarrow c\geq 1 \geq b-1$$

Xét $$a^2+b^2+c^2-5$$

$$=a^2+(b^2-1)+(c^2-4) $$

$$= a(a-b-1) +(b+1)(a+b-1)+(c-2)(c+2) $$

$$=a(a-b-1) +(c-2)(c-b+1) \leq 0$$

$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5$$

Dấu bằng xảy ra tại $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị của nó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 21-05-2018 - 11:25


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 21-05-2018 - 20:11

Tổng quát hóa:

 

$\max\left \{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \mid a+ b+ c= 3,\,0\leqq a,\,b,\,c\leqq g  \right \}=\left\{\begin{matrix} 6\left \{ g-2 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,1\leqq g\leqq \frac{3}{2} \\ 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g> 3\\ 2\left \{ g- 3 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}<g\leqq 3\end{matrix}\right.$

 



#5 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-05-2018 - 20:13

 

Tổng quát hóa:

 

$\max\left \{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \mid a+ b+ c= 3,\,0\leqq a,\,b,\,c\leqq g  \right \}=\left\{\begin{matrix} 6\left \{ g-2 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,1\leqq g\leqq \frac{3}{2} \\ 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g> 3\\ 2\left \{ g- 3 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}<g\leqq 3\end{matrix}\right.$

 

Em nghĩ bài toán tổng quát phải ntn

Cho các số $a,b,c \in [n-1;n+1]$ và $a+b+c=3n$ 

Chứng minh $$ a^2+b^2+c^2 \leq 3n^2+2$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 21-05-2018 - 20:13


#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 07-07-2018 - 15:03

 

Tổng quát hóa:

 

$\max\left \{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \mid a+ b+ c= 3,\,0\leqq a,\,b,\,c\leqq g  \right \}=\left\{\begin{matrix} 6\left \{ g-2 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,1\leqq g\leqq \frac{3}{2} \\ 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g> 3\\ 2\left \{ g- 3 \right \}q+ 9\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}<g\leqq 3\end{matrix}\right.$

 

 

Cho $t_{i} \in \left [ 0,\,2\,k \right ]$ và $\sum\limits_{i= 1}^{3} t_{i}= 3$. Khi đó:

 

$${t_{1}}^{n}+ {t_{2}}^{n}+ {t_{3}}^{n} \leqq \left ( 2\,k \right )^{n}+ k^{n}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 07-07-2018 - 15:08






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh