Chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{2010}$ có hữu hạn nghiệm tự nhiên
Chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{2010}$ có hữu hạn nghiệm tự nhiên
#2
Đã gửi 03-06-2018 - 10:20
Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên không mất tính tổng quát , ta giả sử : $0<x\le y\le z$
Ta có : $\frac{1}{2010}>\frac{1}{x}$ do đó x>2010
Mặt khác : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}\Rightarrow \frac{1}{2010}\le \frac{3}{x}\Rightarrow x\le 3.2010$
Vậy có hữu hạn số nguyên dương x sao cho $2010<x\le 3.2010$ . Ứng với mỗi giá trị này ta có :
$\frac{1}{2010}-\frac{1}{x}\le \frac{2}{y}\Rightarrow y\le \frac{2.2010x}{2010-x}\Rightarrow y\le \frac{2.2010x}{1}\left(do..x>2010\right)\Rightarrow y\le 2.2010.3.2010=6.2010^2$
Vậy y hữu hạn do đó z cũng hữu hạn . Do đó phương trình có hữu hạn nghiệm tự nhiên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duchost121: 03-06-2018 - 10:20
- Khoa Linh yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Với hai số tự nhiên a,b bất kì thỏa mãn (a,b)=1, hãy chứng minh rằng: $(2^a-1,2^b-1)=1$Bắt đầu bởi Nguyenthu2504, 14-11-2023 số học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh