1 reply to this topic

[Phuongthaonguyen]

Chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{2010}$ có hữu hạn nghiệm tự nhiên

[duchost121]

Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên không mất tính tổng quát , ta giả sử : $0<x\le y\le z$

Ta có : $\frac{1}{2010}>\frac{1}{x}$ do đó x>2010 
Mặt khác : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}\Rightarrow \frac{1}{2010}\le \frac{3}{x}\Rightarrow x\le 3.2010$

Vậy có hữu hạn số nguyên dương x sao cho $2010<x\le 3.2010$ . Ứng với mỗi giá trị này ta có :
$\frac{1}{2010}-\frac{1}{x}\le \frac{2}{y}\Rightarrow y\le \frac{2.2010x}{2010-x}\Rightarrow y\le \frac{2.2010x}{1}\left(do..x>2010\right)\Rightarrow y\le 2.2010.3.2010=6.2010^2$

Vậy y hữu hạn do đó z cũng hữu hạn . Do đó phương trình có hữu hạn nghiệm tự nhiên

Edited by duchost121, 03-06-2018 - 10:20.