SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi:Toán
thời gian làm bài: 180 phút
Ngày 1:
Bài 1: Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x_{1}\in (1;2) & \\ x_{n+1}=1+x_{n}-\frac{x_{n}^{2}}{2} & (n\in N^{*}) \end{matrix}\right.$
Chứng minh dãy $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2: Cho đa thức P(x) có bậc n nguyên dương, $n\geq 2$. Biết phương trình P(x)=0 có n nghiệm thực $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ phân biệt.
Chứng minh $\frac{1}{P'(x_{1})}+\frac{1}{P'(x_{2})}+...+\frac{1}{P'(x_{n})}=0$
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn có BC>CA. Gọi O,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác ABC; F là chân đường cao hạ từ C của tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc với OF tại F cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại P. Chừng minh $\widehat{FHP}=\widehat{BAC}$
Bài 4: Chứng minh rằng một hình vuông bất kỳ có thể cắt thành n hình vuông với mọi số n nguyên dương, $n\geq 6$. Chứng minh rằng điều này không thể thực hiện được với n=5
Ngày 2:
Bài 5: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$f(2x+f(y))=f(2x)+xf(2y)+f(f(y))$ với $\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài 6: Giả sử $p\geq 5$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương m,n sao cho $m+n\leq \frac{p-1}{2}$ và $(2^{n}3^{m}-1)\vdots p$
Bài 7: Các đỉnh A,B,C của tam giác nhọn ABC lần lượt nằm trên các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1}$ và $A_{1}B_{1}$ của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ sao cho $\widehat{ABC}=\widehat{A_{1}B_{1}C_{1}}$, $\widehat{BCA}=\widehat{B_{1}C_{1}A_{1}}$, $\widehat{CAB}=\widehat{C_{1}A_{1}B_{1}}$. Chứng minh rằng hai trực tâm của các tam giác $ABC$ và $A_{1}B_{1}C_{1}$ cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 23-05-2018 - 16:04
