Chủ đề này có 2 trả lời

[Chika Mayona]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(3;1;2)$ và $B(5;7;0)$ Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2my-2(m+1)z+m^2+2m+8=0$ là phương trình của một mặt cầu $(S)$ sao cho qua hai điểm $A, B$ cs duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu $(S)$ đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $1$

A. $1$

B. $4$

C. $3$

D. $2$

 

[vkhoa]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(3;1;2)$ và $B(5;7;0)$ Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2my-2(m+1)z+m^2+2m+8=0$ là phương trình của một mặt cầu $(S)$ sao cho qua hai điểm $A, B$ cs duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu $(S)$ đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $1$

A. $1$

B. $4$

C. $3$

D. $2$

Nếu $AB$ không cắt $(S)$ hoặc tiếp xúc $(S)$, luôn có 2 mặt phẳng qua $AB$ cắt $S$ theo 1 đ tròn bán kính 1

giả sử $AB$ cắt $(S)$ tại 2 điểm $M, N$

gọi mặt phẳng qua tâm của $(S)$ và $AB$ là $(P)$

nếu có 1 mặt phẳng qua $AB$ cắt $(S)$ theo đường tròn bk 1 thì mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng đó qua $(P)$ cũng cắt $(S)$ theo đ tròn bk 1.

Để chỉ có 1 mặt phẳng thỏa mãn điều đó khi mặt phẳng đó đối xứng với chính nó qua $(P)$ hay đường tròn giao tuyến chính là đường tròn đường kính $MN$

$\overrightarrow{AB} =(2, 6, -2) =2(1, 3, -1)$

pt tham số của $AB$ là $\left\{\begin{matrix}x =3 +t\\y =1 +3t\\z =2 -t\end{matrix}\right.$ 

thế hệ trên vào pt mặt cầu để tìm tọa độ $M, N$

$\Rightarrow 11t^2 +(6 +8m)t +6 +m^2 =0$(1)

pt có 2 nghiệm $t_1, t_2$

độ dài $MN^2 =(t_2 -t_1)^2 +(3t_2 -3t_1)^2 +(t_1 -t_2)^2 =4$

$\Leftrightarrow 11(t_1 +t_2)^2 -4t_1t_2 =4$

$\Leftrightarrow 11.\frac{(6 +8m)^2}{11^2} -4\frac{6 +m^2}{11} =4$

$\Leftrightarrow 15m^2 +24m -8 =0$

$\Delta' =264>0$

$\Rightarrow $ có 2 nghiệm m

thế m vào $\Delta'$ của pt (1) để xem $\Delta'$ có >0 hay không, nếu có thì thỏa , nếu không thì không thỏa, suy ra có 1 hoặc 2 giá trị của m

[chanhquocnghiem]

 

Nếu $AB$ không cắt $(S)$ hoặc tiếp xúc $(S)$, luôn có 2 mặt phẳng qua $AB$ cắt $S$ theo 1 đ tròn bán kính 1

giả sử $AB$ cắt $(S)$ tại 2 điểm $M, N$

gọi mặt phẳng qua tâm của $(S)$ và $AB$ là $(P)$

nếu có 1 mặt phẳng qua $AB$ cắt $(S)$ theo đường tròn bk 1 thì mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng đó qua $(P)$ cũng cắt $(S)$ theo đ tròn bk 1.

Để chỉ có 1 mặt phẳng thỏa mãn điều đó khi mặt phẳng đó đối xứng với chính nó qua $(P)$ hay đường tròn giao tuyến chính là đường tròn đường kính $MN$

$\overrightarrow{AB} =(2, 6, -2) =2(1, 3, -1)$

pt tham số của $AB$ là $\left\{\begin{matrix}x =3 +t\\y =1 +3t\\z =2 -t\end{matrix}\right.$ 

thế hệ trên vào pt mặt cầu để tìm tọa độ $M, N$

$\Rightarrow 11t^2 +(6 +8m)t +6 +m^2 =0$(1)

pt có 2 nghiệm $t_1, t_2$

độ dài $MN^2 =(t_2 -t_1)^2 +(3t_2 -3t_1)^2 +(t_1 -t_2)^2 =4$

 

(Tiếp tục)

$\Leftrightarrow 11(t_1+t_2)^2-44\ t_1t_2=4$

$\Leftrightarrow 11.\frac{(6+8m)^2}{11^2}-44.\frac{6+m^2}{11}=4$

$\Leftrightarrow 5m^2+24m-68=0\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=-\frac{34}{5}$

Thay vào (1) để kiểm tra dấu của $\Delta$ thì thấy cả 2 giá trị của $m$ đều thỏa mãn $\Rightarrow$ đáp án $D$.