Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

chứng minh lượng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Thích học toán, xem anime

Đã gửi 23-05-2018 - 23:18

1.Cho $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0 & & \\ cos3x+cos3y+cos3z=0 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $cos2x.cos2y.cos2z \leq 0$.

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 24-05-2018 - 09:37


#2 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ABC8 (16-19) THPT Hàm Rồng- Thanh Hóa

Đã gửi 26-05-2018 - 14:18

1.Cho $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0 & & \\ cos3x+cos3y+cos3z=0 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $cos2x.cos2y.cos2z \leq 0$.

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .

Bài 1 có 2 cách giải quyết

Cách 1: Ta có công thức : $cos3x=4cos^3x-3cosx$

$\rightarrow cos3x+cos3y+cos3z=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)-3(cosx+cosy+cosz)=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)$

Do $cos3x+cos3y+cos3z=0 \Rightarrow cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ . Khi đó $cos^3x+cos^3y+cos^3z=3cosx.cosy.cosz=0$

$\begin{bmatrix} cosx=0 & & & \\ cosy=0 & & & \\ cosz=0 & & & \end{bmatrix}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $cosx=0$ khi đó $cosz=-cosz$ Từ đó 

$cos2x.cos2y.cos2z=(2cos^2x-1)(2cos^2y-1)(2cos^2z-1)=-(2cos^2z-1)^2\leq 0$

Cách 2 chứng minh tương tự c1 ta được $cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ (*) 

Theo đề ta suy ra $cosx=-(cosy+cosz)$ thay vào  (*) được $cos^2y.cosz+cosy.cos^2z=0\Leftrightarrow cosy.cosy(cosy+cosz)=0$

Nếu $cosy=0$ ta được $y=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in Z$) và $cosx=-cosz  \Rightarrow x=(2k+1)\pi-z (k\in Z)$ 

$\Rightarrow cos2x.cos2y.cos2z=-cos^22z\leq 0$ tương tự với  $cosz=0$

Nếu $cosy=-cosz$ làm tương tự cũng ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 26-05-2018 - 14:18


#3 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ABC8 (16-19) THPT Hàm Rồng- Thanh Hóa

Đã gửi 26-05-2018 - 14:36

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .

+) $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0\Leftrightarrow cosx=-(cosy+cosz) & & \\ sinx+siny+sinz=0\Leftrightarrow sinx=-(siny+sinz) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sinx.cosx=siny.cosy+sinzcosy+sinycosz+sinz.cosz\Leftrightarrow sin2x=sin2y+sin2z-2sinx$

Tương tự với $sin2y$ và $sin2z$ cộng lại tất cả được $sin2x+sin2y+sin2z=0$

+) $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0\Leftrightarrow cos^x=(cosy+cosz)^2 & & \\ sinx+siny+sinz=0\Leftrightarrow sin^2x=(siny+sinz^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow cos^2x-sin^2x=(siny+sinz)^2(cosy+cosz)^2$ đến đoạn này bạn chỉ việc làm như cái đầu kia là ổn






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh