Đến nội dung

Hình ảnh

$sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

- - - - - chứng minh lượng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

1.Cho $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0 & & \\ cos3x+cos3y+cos3z=0 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $cos2x.cos2y.cos2z \leq 0$.

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 24-05-2018 - 09:37


#2
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

1.Cho $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0 & & \\ cos3x+cos3y+cos3z=0 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $cos2x.cos2y.cos2z \leq 0$.

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .

Bài 1 có 2 cách giải quyết

Cách 1: Ta có công thức : $cos3x=4cos^3x-3cosx$

$\rightarrow cos3x+cos3y+cos3z=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)-3(cosx+cosy+cosz)=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)$

Do $cos3x+cos3y+cos3z=0 \Rightarrow cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ . Khi đó $cos^3x+cos^3y+cos^3z=3cosx.cosy.cosz=0$

$\begin{bmatrix} cosx=0 & & & \\ cosy=0 & & & \\ cosz=0 & & & \end{bmatrix}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $cosx=0$ khi đó $cosz=-cosz$ Từ đó 

$cos2x.cos2y.cos2z=(2cos^2x-1)(2cos^2y-1)(2cos^2z-1)=-(2cos^2z-1)^2\leq 0$

Cách 2 chứng minh tương tự c1 ta được $cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ (*) 

Theo đề ta suy ra $cosx=-(cosy+cosz)$ thay vào  (*) được $cos^2y.cosz+cosy.cos^2z=0\Leftrightarrow cosy.cosy(cosy+cosz)=0$

Nếu $cosy=0$ ta được $y=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in Z$) và $cosx=-cosz  \Rightarrow x=(2k+1)\pi-z (k\in Z)$ 

$\Rightarrow cos2x.cos2y.cos2z=-cos^22z\leq 0$ tương tự với  $cosz=0$

Nếu $cosy=-cosz$ làm tương tự cũng ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 26-05-2018 - 14:18


#3
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ;  $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :

a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$

b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .

+) $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0\Leftrightarrow cosx=-(cosy+cosz) & & \\ sinx+siny+sinz=0\Leftrightarrow sinx=-(siny+sinz) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sinx.cosx=siny.cosy+sinzcosy+sinycosz+sinz.cosz\Leftrightarrow sin2x=sin2y+sin2z-2sinx$

Tương tự với $sin2y$ và $sin2z$ cộng lại tất cả được $sin2x+sin2y+sin2z=0$

+) $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0\Leftrightarrow cos^x=(cosy+cosz)^2 & & \\ sinx+siny+sinz=0\Leftrightarrow sin^2x=(siny+sinz^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow cos^2x-sin^2x=(siny+sinz)^2(cosy+cosz)^2$ đến đoạn này bạn chỉ việc làm như cái đầu kia là ổn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh