Chủ đề này có 3 trả lời

[xuanhoan23112002]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:

$2a+b+c\leq \frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 26-05-2018 - 15:38

[thanhdatqv2003]

đề thi vào nam định là  2 đề à bạn. Mà sao mk lại có 1 đề khác có câu bđt khác

[xuanhoan23112002]

Đây là đề của ban xã hội bạn ạ.

Còn đây là lời giải của mình cho bài toán này các bạn có thể tham khảo:

Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn a theo công thức nghiệm ta được

$a=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho căn thức trong biểu thức trên, ta có:

$a\leq \frac{-bc+\frac{4-b^2+4-c^2}{2}}{2}= \frac{8-(b+c)^2}{4}$

Từ đó ta có: $2a+b+c=\frac{8-(b+c)^2+2(b+c)}{2}=\frac{9-(b+c-1)^2}{2}\leq \frac{9}{2}$

P/s: Mình nghĩ đây là cách ngắn nhất và có thể thay số 2 trong đề bài bởi các số khác vẫn có thể giải tương tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 26-05-2018 - 17:59

[melodias2002]

$a^2+b^2+c^2+abc=4 \Rightarrow$ Tồn tại $\alpha, \beta, \gamma$ sao cho $a=2.cos \alpha, b=2.cos \beta, c=2.cos \gamma$

Ta cần chứng minh $2cos\alpha + cos\beta + cos\gamma \leq \frac{9}{4}$

Bổ đề: $x^2+y^2+z^2 \geq 2xycos\alpha +2yzcos\beta +2zxcos\gamma$ (Chứng minh bằng cách xét $\Delta \leq 0$)

Từ bổ đề ta được $\frac{cos\alpha}{z} +\frac{cos\beta}{x} +\frac{cos\gamma}{y} \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}$

Chọn $x,y,z$ sao cho $\frac{1}{z}=2,\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=1$, ta có $2cos\alpha + cos\beta + cos\gamma \leq \frac{9}{4}$ (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{sin\beta}=\frac{1}{sin\gamma}=\frac{2}{sin\alpha} \Rightarrow \Delta (\alpha,\beta,\gamma)$ ~ $\Delta (1,1,2)$