Chủ đề này có 1 trả lời

[Tea Coffee]

Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh $1$ hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó $5$ hình tròn bán kính $1$ mà không có $2$ hình tròn nào chờm lên nhau.

[Korkot]

Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh $1$ hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó $5$ hình tròn bán kính $1$ mà không có $2$ hình tròn nào chờm lên nhau.

Bài này giống bài thi VMO vừa rồi

Thu 5 hình tròn bk 1 trên thành 5 điểm sao cho các điểm là tâm của các hình tròn. Khi đó, mỗi đường tròn đã mất đi bk=2 nên để tồn tại 1 hình vuông thỏa, ta kéo độ dài mỗi bên  cạnh hình vuông dài ra thêm 1.(Tức là 2 đoạn được kéo khác phía so với trung điểm của cạnh được kéo).

Khi đó nếu tồn tại một hình vuông thỏa đề thì 5 điểm này sẽ cách cạnh hình vuông và cách nhau đôi một  $\geq 2$

Vậy ta cần tìm độ dài cạnh nhỏ nhất sao cho các điểm này cách cạnh hình vuông và cách nhau đôi một $ \geq 2$.

Đặt mỗi góc của hình vuông mới một hình vuông cạnh bằng 2.4 điểm bên trong hình vuông lớn của bốn hình vuông nhỏ trên tao thành hình vuông và đường chéo của hình chữ nhật này phải $\geq 4$ để tồn tại 1 điểm thỏa đề (Vì khi đó tồn tại vị trí cách các điểm này 1).  

Gọi cạnh hình vuông ở tâm là a thì $2a^2 \leq 16 \Rightarrow a \leq 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow Min_{a}= 2\sqrt{2}$

Điều này xảy ra khi hình vuông lớn có cạnh là $2\sqrt{2}+4$ hay hay vuông ban đầu có cạnh $2\sqrt{2}+2$

P/S hình vẽ chỉ mang tính tượng trưng

Bạn tham khảo dạng bài này ở VMO 2018 như sau:https://toanmath.com...i-vmo-2018.html

File gửi kèm

•  geogebra-export.png   165.7K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 27-05-2018 - 05:38