Chủ đề này có 2 trả lời

[supernatural1]

Xét các số thực x,y thảo mãn $x^{2} + y^{2} > 1$ và $\log_{x^{2}+y^{2}}(2x+3y) \geq 1$. GTLN $P_{max}$ của biểu thức P = 2x + y bằng :

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 27-05-2018 - 10:45

[supernatural1]

Ai giải giúp với

[DOTOANNANG]

Ta có: $\log_{x^{2}+ y^{2}}\left [ 2\,x+ 3\,y \right ]\geqq 1$

 

hay:

 

$\ln \left [ 2\,x+ 3\,y \right ]\geqq \ln \left [ x^{2}+ y^{2} \right ] $

 

Do $\ln $ là hàm tăng và $ x^{2}+ y^{2}\geqq 1 $ nên 2 vế luôn dương dẫn tới:

 

$2\,x+ 3\,y\geqq x^{2}+ y^{2}$

 

hay:
 

$\frac{13}{4}\geqq \left [ x- 1 \right ] ^{2}+ \left [ y- \frac{3}{2} \right ]^{2}$

 

Đặt: $x^{'}, \,y^{'}= x- 1,\,y- \frac{3}{2}$

 

Do đó:

 

$2\,x+ y= 2\,x^{'}+ y^{'}+ \frac{7}{2}\leqq \sqrt{\left [ \left \{ x^{'} \right \}^{2}+ \left \{ y^{'} \right \}^{2} \right ]\left [ \left \{ 2 \right \}^{2}+ \left \{ 1 \right \}^{2} \right ]}+ \frac{7}{2}$

 

$\leqq \sqrt{\left [ \frac{13}{4} \right ]\left [ 2^{2}+ 1^{2} \right ]}+ \frac{7}{2}= \frac{\sqrt{65}+ 7}{2}$

 

Dấu bằng xảy ra tại: $x,\,y= 1+ \frac{\sqrt{65}}{5},\,\frac{3}{2}+ \frac{\sqrt{65}}{10}$