Chủ đề này có 2 trả lời

[MarkGot7]

Cho $x, y, z > 0$ và $x+y+z= 1$ . Chứng minh

  $xy+ yz+ xz - xyz\leq \frac{8}{27}$

[xuanhoan23112002]

Theo bất đẳng thức Schur ta có:

$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$

$\Leftrightarrow 5xyz+1\geq 4(xy+yz+zx-xyz)$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}= \frac{1}{27}$

$\Rightarrow xy+yz+zx-xyz\leq \frac{8}{27}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

[PugMath]

cách khác :

giả sử x,y,z là 3 cạnh tam giác => ta có BĐT phụ $xyz\geqslant(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$

=>$9xyz\geqslant1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)=-1+4(xy+yz+xz)=>xy+yz+xz\leqslant \frac{9}{4}xyz+\frac{1}{4}$

từ đó => $xy+yz+xz-xyz\leqslant \frac{9}{4}xyz+\frac{1}{4}-xyz=\frac{5}{4}xyz+\frac{1}{4}\leqslant \frac{5}{4}.\frac{(x+y+z)^3}{27}+\frac{1}{4}=\frac{8}{27}$