CMR:
$\sum \frac{ab+c^{2}}{a+b}\geq a+b+c$
CMR: $\sum \frac{ab+c^{2}}{a+b}\geq a+b+c$
Bắt đầu bởi
dragon ball super
, 27-05-2018 - 16:47
#1
Đã gửi 27-05-2018 - 16:47
dragon ball super
-
- Banned
-
- 23 Bài viết
Binh nhất
" Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những vì sao sáng thì bạn cũng
ở giữa những vì tinh tú ..."
-Khuyết Danh-
#2
Đã gửi 27-05-2018 - 17:05
xuanhoan23112002
-
- Thành viên
-
- 103 Bài viết
Trung sĩ
Ta có: $\sum \frac{ab+c^2}{a+b}+\sum c= \sum \frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(a+b+c)$ (bất đẳng thức AM-GM)
$\Rightarrow \sum \frac{ab+c^2}{a+b}\geq a+b+c$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c> 0$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 27-05-2018 - 17:06
- Tea Coffee và MoMo123 thích
#3
Đã gửi 30-05-2018 - 13:31
DOTOANNANG
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 1609 Bài viết
Đại úy
Ta có bất đẳng thức Vornicu-Schur với $a\geqq b\geqq c\geqq 0$ :
$$x\left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ y\left ( b- c \right )\left ( b- a \right )+ z\left ( c- a \right )\left ( c- b \right )\geqq 0$$
Ta để ý thấy rằng:
$$\frac{a^{2}+ bc}{b+ c}- a= \frac{\left ( a- b \right )\left ( a- c \right )}{b+ c}$$
Việc đơn giản là đặt: $x,\,y,\,z= \frac{1}{b+ c},\,\frac{1}{c+ a},\,\frac{1}{a+ b}$ và ta được: $x\leqq y\leqq z$
OK!
#4
Đã gửi 09-05-2021 - 19:09
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Giả sử $c=min\left \{ a,b,c\right \}$
$VT-VP=\frac{(a-b)^2(a+b)}{(b+c)(c+a)}+\frac{(c-a)(c-b)}{a+b}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
