Chủ đề này có 2 trả lời

[Leuleudoraemon]

1. cho a,b,c,d là các số tự nhiên tm a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)

CM ab+cd là hợp số

2. Tìm tất cả số chính phương gồm 4 chữ số lẻ

[Tea Coffee]

1) 

Solution:

$GT=>a^{2}-ac+c^{2}=b^{2}+bd+d^{2}$ 

$=>(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^{2}+d^{2})+bd(a^{2}+c^{2})=ac(b^{2}+bd+d^{2})+bd(a^{2}-ac+c^{2})=(ac+bd)(a^{2}-ac+c^{2})(1)$

Ta có: $(ab+cd)-(ac+bd)=(a-d)(b-c)> 0$

$(ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)> 0$

$=>ab+cd> ac+bd> ad+bc$

If $ab+cd$ là SNT $=>(ab+cd,ac+bd)=1$

From $(1)=>ad+bc\vdots ac+bd(>.<)$ since $ac+bd> ad+bc> 0$

2)

Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ trong đó $a,b,c,d$ lẻ (tự viết thêm điều kiện)

$\overline{abcd}=n^{2}(n\epsilon N)$

Do $\overline{abcd}$ lẻ $=>n$ lẻ. $(1)$

$1000\leq n^{2}\leq 9999=>33\leq n\leq 99$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta xét các trường hợp sau:

+)T/H1:$n=\overline{m1}(m\epsilon \mathbb{N};4\leq m\leq 9)$

$=>n^{2}=(10m+1)^{2}=100m^{2}+20m+1\equiv 20m+1(mod100)$

$20m$ có dạng $\overline{m_{1}m_{2}0}$ trong đó $\overline{m_{1}m_{2}}$ chẵn

$=>n^{2}$ có chữ số hàng chục chẵn (L)

+)T/H2,3,4:$n=\overline{m3},\overline{m7},\overline{m9}$ tương tự

+)T/H5: $n=\overline{m5}$

$=>\overline{abcd}\equiv 5(mod10)=>c=2$ (L)

=> Không tồn tại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 28-05-2018 - 08:49

[DOTOANNANG]

$ab+ cd= \frac{\left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )\left ( b^{\,2}+ bd+ d^{\,2} \right )}{ab- bc- cd}$ , với: $\left ( b^{\,2}+ bd+ d^{\,2} \right )- \left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )= c^{\,2}+ d^{\,2}+ bd> 0,\,$ $\left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )- \left ( ab- bc- cd \right )= \frac{\left ( b- c \right )\left ( c- d \right )\left ( b^{\,2}- c^{\,2}+ d^{\,2}+ ad+ bd \right )}{a\left ( a+ b- c+ d \right )}> 0,\,$ $ab- bc- cd= \frac{\left ( b- c \right )\left [ \left ( b- c \right )\left ( a+ d \right )+ a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ d^{\,2}+ bc+ 2\,da \right ]}{2\,a+ b- c+ 2\,d}> 0$

 

Spoiler

$ab+ cd- \frac{\left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )\left ( b^{\,2}+ bd+ d^{\,2} \right )}{ab- bc- cd}= \frac{b^{\,2}\left [ ac+ bd- \left ( b+ d+ a- c \right )\left ( b+ d- a+ c \right ) \right ]}{ab- bc- cd}= 0$

 

$\left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )- \left ( ab- bc- cd \right )- \frac{\left ( b- c \right )\left ( c- d \right )\left ( b^{\,2}- c^{\,2}+ d^{\,2}+ ad+ bd \right )}{a\left ( a+ b- c+ d \right )}= \frac{\left ( bc+ cd- c^{\,2}- ab- bd \right )\left [ ac+ bd- \left ( b+ d+ a- c \right )\left ( b+ d- a+ c \right ) \right ]}{a\left ( a+ b- c+ d \right )}= 0$

 

$ab- bc- cd- \frac{\left ( b- c \right )\left [ a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ d^{\,2}+ 2\,da+ \left ( b- c \right )\left ( a+ d \right ) \right ]}{2\,a+ b- c+ 2\,d}= \frac{\left ( b+ c \right )\left [ ac+ bd- \left ( b+ d+ a- c \right )\left ( b+ d- a+ c \right ) \right ]}{2\,a+ b- c+ 2\,d}= 0$