1. cho a,b,c,d là các số tự nhiên tm a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)
CM ab+cd là hợp số
2. Tìm tất cả số chính phương gồm 4 chữ số lẻ
1. cho a,b,c,d là các số tự nhiên tm a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)
CM ab+cd là hợp số
2. Tìm tất cả số chính phương gồm 4 chữ số lẻ
1)
Solution:
$GT=>a^{2}-ac+c^{2}=b^{2}+bd+d^{2}$
$=>(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^{2}+d^{2})+bd(a^{2}+c^{2})=ac(b^{2}+bd+d^{2})+bd(a^{2}-ac+c^{2})=(ac+bd)(a^{2}-ac+c^{2})(1)$
Ta có: $(ab+cd)-(ac+bd)=(a-d)(b-c)> 0$
$(ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)> 0$
$=>ab+cd> ac+bd> ad+bc$
If $ab+cd$ là SNT $=>(ab+cd,ac+bd)=1$
From $(1)=>ad+bc\vdots ac+bd(>.<)$ since $ac+bd> ad+bc> 0$
2)
Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ trong đó $a,b,c,d$ lẻ (tự viết thêm điều kiện)
$\overline{abcd}=n^{2}(n\epsilon N)$
Do $\overline{abcd}$ lẻ $=>n$ lẻ. $(1)$
$1000\leq n^{2}\leq 9999=>33\leq n\leq 99$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta xét các trường hợp sau:
+)T/H1:$n=\overline{m1}(m\epsilon \mathbb{N};4\leq m\leq 9)$
$=>n^{2}=(10m+1)^{2}=100m^{2}+20m+1\equiv 20m+1(mod100)$
$20m$ có dạng $\overline{m_{1}m_{2}0}$ trong đó $\overline{m_{1}m_{2}}$ chẵn
$=>n^{2}$ có chữ số hàng chục chẵn (L)
+)T/H2,3,4:$n=\overline{m3},\overline{m7},\overline{m9}$ tương tự
+)T/H5: $n=\overline{m5}$
$=>\overline{abcd}\equiv 5(mod10)=>c=2$ (L)
=> Không tồn tại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 28-05-2018 - 08:49
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
$ab+ cd= \frac{\left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )\left ( b^{\,2}+ bd+ d^{\,2} \right )}{ab- bc- cd}$ , với: $\left ( b^{\,2}+ bd+ d^{\,2} \right )- \left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )= c^{\,2}+ d^{\,2}+ bd> 0,\,$ $\left ( b^{\,2}- c^{\,2} \right )- \left ( ab- bc- cd \right )= \frac{\left ( b- c \right )\left ( c- d \right )\left ( b^{\,2}- c^{\,2}+ d^{\,2}+ ad+ bd \right )}{a\left ( a+ b- c+ d \right )}> 0,\,$ $ab- bc- cd= \frac{\left ( b- c \right )\left [ \left ( b- c \right )\left ( a+ d \right )+ a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ d^{\,2}+ bc+ 2\,da \right ]}{2\,a+ b- c+ 2\,d}> 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh