Chủ đề này có 12 trả lời

[Korkot]

         ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM                                                                        ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                                                             NĂM HỌC 2018-2019

      HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10                                                                           MÔN THI: TOÁN (chuyên)

                                                                                                      Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề

 

Bài 1.(1,5 điểm) Cho các phương trình $x^2-x+m (1)$ và $mx^2-x+1=0 (2)$ với m là tham số.

a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của (1) và $x_{3},x_{4}$ là 2 nghiệm của (2).

Chứng minh rằng $x_{1}x_{2}x_{3} + x_{2}x_{3}x_{4} +x_{3}x_{4}x_{1} +x_{4}x_{1}x_{2} >5$

Bài 2.(2 điểm) Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn $a^3+b^3 >0$

a) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a+b>0$

b) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a^2+b^2$

c) Tìm tất cả các bộ số x,y,z,t nguyên sao cho $x^3+y^3=z^2+t^2$ và $z^3+t^3=x^2+y^2$

Bài 3.(2 điểm) Cho $A_{n}=2018^n+2032^n-1964^n-1984^n$ với n là số tự nhiên

a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì $A_{n}$ chia hết cho 51

b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho $A_{n}$ chia hết cho 45

Bài 4.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn qua B,C cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F. BF cắt CE tại D. Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành.

a) Chứng minh rằng $\Delta KBC$ đồng dạng $\Delta DFE$, $\Delta AKC$ đồng dạng $\Delta ADE$

b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AK.

c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN. Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC.

d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T $(T \neq I)$. Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ.

Bài 5.(1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham giác vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất 1 học sinh.

a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên.

b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy? (8)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 30-05-2018 - 18:27

[Tea Coffee]

Bôi đen số bài để cho rõ nhìn đê :v

2)a) $GT:a^{3}+b^{3}> 0<=>(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})> 0<=>(a+b)\left [ (a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}.b^{2} \right ]> 0=>\left\{\begin{matrix}ab\neq 0 \\ a+b> 0 \end{matrix}\right.$

Ta CM: $a^{3}+b^{3}\geq a+b<=>(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})-(a+b)\geq 0<=>(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}-1)\geq 0<=>a^{2}-ab+b^{2}\geq 1$ đúng

Do $a,b\epsilon \mathbb{Z}=>a^{2}-ab+b^{2}\epsilon \mathbb{Z}$

Mà $a^{2}-ab+b^{2}> 0(ab\neq 0)=>a^{2}-ab+b^{2}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 28-05-2018 - 12:00

[duylax2412]

         ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM                                                                        ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                                                             NĂM HỌC 2018-2019

      HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10                                                                           MÔN THI: TOÁN (chuyên)

                                                                                                      Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề

 

 

Bài 3.(2 điểm) Cho $A_{n}=2018^n+2032^n-1964^n-1984^n$ với n là số tự nhiên

a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì $A_{n}$ chia hết cho 51

b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho $A_{n}$ chia hết cho 45

 

Bài 5.(1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham giác vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất 1 học sinh.

a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên.

b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?

P/s Đợt này mình tạch rồi :v

Sao tạch?Làm dc bao nhiêu

Bài 3:

b) Đáp số $n=12m$ với $m$ tự nhiên (Lời giải post sau vì đang dùng ipad)

Bài 5:

b) Đáp án là $8$ phải không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 28-05-2018 - 12:18

[MoMo123]

Gọi P là trung điểm BC

a) Xét tam giác đồng dạng

b)AMDN nội tiếp $\angle ANM=\angle ADM$

Từ câu a suy ra $ \angle CAK=\angle DAM$

nên $\angle CAK+\angle ANM= \angle DAM +\angle  ADM =90^0$

c) DBCK là hình bình hành nên P là trung điểm DK

Từ đây suy ra $IP//AK$(1)

Dễ dàng chứng minh được $\Delta IMN$ cân và $IJ  \bot  MN$ mà $MN\bot AK$ nên $ IJ //AK$(2)

Từ (1)(2) ta suy ra $I,J,P$ thẳng hàng

d)

Dễ dàng chứng minh DT là đường kính của (IMN) nên $IN^2=IJ.IT =ID^2$

nên ID là tiếp tuyến của (IMN)

hay AD là tiếp tuyến của (IMN)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 28-05-2018 - 12:59

[HelpMeImDying]

2b) Xét 2 TH

TH1: Trong 2 số $a,b$ có 1 số >0, 1 số <0

$\Rightarrow a^{3}+b^{2}=(a+b)(a^{2}+b^{2})-ab(a+b)\geq (a+b)(a^{2}+b^{2})\geq a^{2}+b^{2}$

TH2: Cả 2 số >0$\Rightarrow a+b\geq 2$

Từ $a+b> 0\Rightarrow (a+b)(a-b)^{2}\geq a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)(a^{2}+b^{2})\geq 2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

[HelpMeImDying]

2c) Từ b)$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}\geq z^{2}+t^{2}\\ z^{2}+t^{2}\geq x^{2}+y^{2} \end{matrix}\right.$

$x^{3}+y^{3}=z^{2}+t^{2}=x^{2}+y^{2}=z^{3}+t^{3}$

Đến đây chỉ cần chỉ ra dấu bằng là được

[Tea Coffee]

3)a)$An=(2018^{n}-1984^{n})+(2032^{n}-1964^{n})$

$2018^{n}-1984^{n}\vdots 2018-1984\vdots 17$

$2032^{n}-1964^{n}\vdots 2032-1964\vdots 17$

Tương tự $A_{n}\vdots 3=>A_{n}\vdots 51$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 28-05-2018 - 18:35

[nntien]

Bài 5: Chuyển về bài toán tô màu tam giác với 8 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi tam giác có ba cạnh cùng màu. Không có cạnh nào đươc tô quá một màu.

a. Giả sử tồn tại một đỉnh gọi là đỉnh A thuộc về 4 tam giác có 4 màu khác nhau, rõ ràng có 8 đỉnh nối với A. Suy ra vô lý vì tính luôn A thì có tới 9 điểm.

b. Tìm số màu tô nhiều nhất.

Theo câu a thì một điểm thuộc về nhiều nhất ba tam giác khác màu. Như vậy ta chỉ cần chỉ ra 8 đỉnh, đỉnh nào cũng thuộc về 3 tam giác khác màu là được.

Màu 1: 1,2,3

Màu 2: 1,4,5

Màu 3: 1,6,7

Màu 4: 8,3,4

Màu 5: 8,5,6

Màu 6: 8,7,2

Màu 7: 7,3,5

Màu 8: 2,4,6

Ta thấy mỗi đỉnh thuộc về 3 tam giác có 3 màu khác nhau.

=> Số nhóm tối ta là 8.  

[duylax2412]

Sao tạch?Làm dc bao nhiêu

Bài 3:

b) Đáp số $n=12m$ với $m$ tự nhiên (Lời giải post sau vì đang dùng ipad)

Bài 5:

b) Đáp án là $8$ phải không

Bài 3b) trong lúc thi giải thế này 

$A_n \equiv 3^n+2^n-2(-1)^n (mod 5) \Rightarrow 3^n+2^n-2(-1)^n \vdots 5$

Nếu $n$ lẻ thì $3^n+2^n \vdots 5$ (VL) .Đặt $n=2k$ thì $9^k+4^k-2 \vdots $

Mà $9^k+4^k \equiv 2(-1)^k (mod 5)$

Suy ra $2(-1)^k-2 \vdots 5$.Suy ra $k$ chẵn.Vậy $n$ chia hết $4$

Tiếp $A_n \equiv 2^n-4^n (mod 9)$ Suy ra $2^n-1 \vdots 9$ Suy ra $n \vdots 3$

Do đó $n$ chia hết 12.

[dat102]

Xem full Đáp án tại: https://www.dropbox....8-2019.pdf?dl=0

Ps: Các bác làm bài được ko ? Chắc em tạch rồi, làm chưa hết (

[nguyenthaibaolax1011]

Bôi đen số bài để cho rõ nhìn đê :v

2)a) $GT:a^{3}+b^{3}> 0<=>(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})> 0<=>(a+b)\left [ (a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}.b^{2} \right ]> 0=>\left\{\begin{matrix}ab\neq 0 \\ a+b> 0 \end{matrix}\right.$

Ta CM: $a^{3}+b^{3}\geq a+b<=>(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})-(a+b)\geq 0<=>(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}-1)\geq 0<=>a^{2}-ab+b^{2}\geq 1$ đúng

Do $a,b\epsilon \mathbb{Z}=>a^{2}-ab+b^{2}\epsilon \mathbb{Z}$

Mà $a^{2}-ab+b^{2}> 0(ab\neq 0)=>a^{2}-ab+b^{2}\geq 1$

Sao ab$\neq 0$ vậy bạn? a=0,b>0 và ngược lại vẫn đúng mà!

[thanhdatnguyen2003]

Vào đây để xem các tài liệu hình học nha https://diendantoanh...-liệu-hình-học/

[01634908884]

Bài 5: Chuyển về bài toán tô màu tam giác với 8 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi tam giác có ba cạnh cùng màu. Không có cạnh nào đươc tô quá một màu.
a. Giả sử tồn tại một đỉnh gọi là đỉnh A thuộc về 4 tam giác có 4 màu khác nhau, rõ ràng có 8 đỉnh nối với A. Suy ra vô lý vì tính luôn A thì có tới 9 điểm.
b. Tìm số màu tô nhiều nhất.
Theo câu a thì một điểm thuộc về nhiều nhất ba tam giác khác màu. Như vậy ta chỉ cần chỉ ra 8 đỉnh, đỉnh nào cũng thuộc về 3 tam giác khác màu là được.
Màu 1: 1,2,3
Màu 2: 1,4,5
Màu 3: 1,6,7
Màu 4: 8,3,4
Màu 5: 8,5,6
Màu 6: 8,7,2
Màu 7: 7,3,5
Màu 8: 2,4,6
Ta thấy mỗi đỉnh thuộc về 3 tam giác có 3 màu khác nhau.
=> Số nhóm tối ta là 8.

Phải chỉ ra số nhóm nhỏ hơn bằng 8,sau ms chỉ ra th =8 tm chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 01634908884: 26-06-2018 - 22:27