Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhcamgia]

Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $(x^2 + 4y +8)(y^2+4x+8) = (3x+5y+4)(3y+5x+4)$

[Tea Coffee]

Cách của mình, dài:

$GT:x^{2}y^{2}+4(x^{3}+y^{3})+8(x^{2}+y^{2})+16xy+32(x+y)+64=15(x^{2}+y^{2})+32(x+y)+34xy+16<=>x^{2}y^{2}+4(x^{3}+y^{3})$ $+48=7(x^{2}+y^{2})+18xy$

$\left\{\begin{matrix}a=xy \\ b=x+y \end{matrix}\right. a,b\epsilon \mathbb{N}$

$=>a^{2}+4b^{3}-12ab+48=7b^{2}+4a<=>(b^{2}-3a)(4b-7)+a^{2}-25a+48=0(*)$

+)T/H1: $b=0=>x=y=0$(L)

+)T/H2:$b=1<=>\begin{bmatrix}x=1,y=0 \\ x=0,y=1 \end{bmatrix} ...$

+)T/H3:$b\geq 2=>4b-7> 0$

Do $b^{2}=(x+y)^{2}\geq 4xy\geq 3xy=3a=>b^{2}-3a\geq 0$

$=>(b^{2}-3a)(4b-7)\geq 0$

From $(*)=>a^{2}-25a+48\leq 0<=>(2a-25)^{2}\leq 433=>(2a-25)^{2}\epsilon \left \{ 1;9;...;361 \right.$

Hơn 10 trường hợp nữa nên dài. Hơi vội nên chắc có cách khác hay hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 28-05-2018 - 20:08

[DOTOANNANG]

$x\geqq 2,\,y\geqq 3\,\,\Rightarrow \,\,0= \left ( x^{\,2}+ 4\,y+ 8 \right )\left ( y^{\,2}+ 4\,x+ 8 \right )- \left ( 3\,x+ 5\,y+ 4 \right )\left ( 3\,y+ 5\,x+ 4 \right )= \left ( y- 2 \right )^{\,2}\left ( 4\,y+ 13 \right )+$ $+ \left ( x- 2 \right )\left [ \left ( x- 2 \right )\left ( 4\,x+ 13 \right )+ \left ( y- 2 \right )\left ( xy+ 2\,x+ 2\,y- 14 \right ) \right ]> 0$ ( vô lí ! )

Spoiler

$x= 2,\,y= 2$