Cho a,b,c dương; a,b,c<1 và ab+bc+ca=1
Tìm Min $\sum \frac{a^2(1-2b)}{b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 28-05-2018 - 23:54
Cho a,b,c dương; a,b,c<1 và ab+bc+ca=1
Tìm Min $\sum \frac{a^2(1-2b)}{b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 28-05-2018 - 23:54
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Bài của bạn thiếu GT
hay quá má
Ai còn lời giải khác ko, post lên cùng vs
Ta có: $\frac{a^{2}(1-2b)}{b} + b(1-2b)\geq 2a(1-2b)$
Tương tự, VT$\geq \sum 2a(1-2b)-\sum b(1-2b)\geq \sum a+\sum 2a^{2}-4\geq \sqrt{3}-2$
Ta cần chứng minh: $U= \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}}{b}-2 \sum\limits_{cyc}a^{2}\geqq -2+ \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left ( \frac{a^{2}}{b}- 2\,a+ b \right )+ \left ( a+ b+ c- \sqrt{3} \right )- 2\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- 1 \right )\geqq 0$
Từ $ab+ bc+ ca= 1$, ta có:
$\sum\limits_{cyc}\left ( \frac{a^{2}}{b}- 2\,a+ b \right )= \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}+ \frac{\left ( b- c \right )^{2}}{c}+ \frac{\left ( c- a \right )^{2}}{a},$
$\,a+ b+ c- \sqrt{3}= \frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}- 3}{a+ b+ c+ \sqrt{3}}= \frac{\left ( a- b \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}}{2\left ( a+ b+ c+ \sqrt{3} \right )},$
$\,2\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- 1 \right )= 2\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca \right )= \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}$
Và ta thấy rằng:
$U= \left [ \underbrace{\frac{1}{b}- 1+ \frac{1}{2\left ( a+ b+ c+ \sqrt{3} \right )} }_{>0\Leftarrow \frac{1}{b}> 1}\right ]\left ( a- b \right )^{2}+ \left [ \underbrace{\frac{1}{c}- 1+ \frac{1}{2\left ( a+ b+ c+ \sqrt{3} \right )} }_{>0\Leftarrow \frac{1}{b}> 1} \right ]\left ( b- c \right )^{2}+ \left [ \underbrace{\frac{1}{a}- 1+ \frac{1}{2\left ( a+ b+ c+ \sqrt{3} \right )} }_{>0\Leftarrow \frac{1}{a}> 1}\right ]\left ( c- a \right )^{2}\geqq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-06-2018 - 09:03
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh