Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyetngo550]

giải dùm e bài này với ạ 

 $\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{e^{sin 2x}-1-2x}{x^{2}} \right )$

[Thegooobs]

giải dùm e bài này với ạ 

 $\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{e^{sin 2x}-1-2x}{x^{2}} \right )$

Đây là dạng $\frac{0}{0}$ tại $x = 0$

Nhận thấy trên tử là hiệu 2 hàm tương đương nhau do vậy không thế tương đương được nên ta áp dụng quy tắc $\text{L'Hospital}$ được:

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(2x)}-1-2x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{\sin(2x)}-1-2x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\cdot e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-2}{2x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-1}{x}$$

Tới đây ta không sử dụng quy tắc $\text{L'Hospital}$ nữa (mặc dù hoàn toàn được và sẽ gọn hơn cách dưới đây) ta sẽ sử dụng hàm tương đương cụ thể là vô cùng bé tương đương.

Đâu tiên viết lại 

$$e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-1=\cos(2x)\cdot (e^{\sin(2x)}-1)+\cos(2x)-1$$

Sử dụng các cặp tương đương:

$$e^u -1\sim u \ \ \text{và} \ \ 1-\cos(u)\sim \dfrac{u^2}{2}$$

Kết hợp định lí

Định lý

Nếu $\lim_{x \to a}f(x)= \ell \ne 0$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim}\overline{g}(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \ell \cdot \overline{g}(x)$

Ta được

$$\cos(2x)\cdot (e^{\sin(2x)}-1) \stackrel{x \to 0}{\sim} 1\cdot 2x=2x$$

và 

$$ \cos(2x)-1 \stackrel{x \to 0}{\sim} -2x^2$$

Vì $-2x^2 \stackrel{x \to 0}{=} o(2x)$ nên

$$e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-1=\cos(2x)\cdot (e^{\sin(2x)} -1)+\cos(2x)-1 \stackrel{x \to 0}{\sim} 2x -2x^2 \stackrel{x \to 0}{\sim} 2x$$

Vậy 

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x) -1}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2x}{x}=2$$

Vậy đáp án cho giới hạn ban đầu là $2$