Chủ đề này có 9 trả lời

[Le Hoang Anh Tuan]

$1, x,y,z>0, Max:P=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+xz+yz)}$

$2,0\leq a,b,c\leq 1, a+b+c=1, Min,Max: P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

$3,Cho:0\leq a,b,c\leq 4, a+b+c=6, MAX:P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc$

$4, a,b,c>0, a+2b+3c\geq 10, CMR: a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8a}+\frac{1}{c}\geq \frac{13}{2}$

$5,a,b,c>0, ab+ac+bc+abc\leq 4,CMR:  $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+ac+bc)$

$6,Cho a,b,c>0, a+b+c=1, MAX:P=\sum \frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}$

$7,a,b,c>0, a+b+c=3:Min:P=\sum a^{2}+\frac{ab+ac+bc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

$8,x,y,z>0, x+y+z=18\sqrt{2}, CMR:P=\sum \frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Hoang Anh Tuan: 29-05-2018 - 14:42

[Le Hoang Anh Tuan]

$9,a,b,c>0, a+b+c=3, MAX:P=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}$

$10,a,b,c>0, CMR: \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\leq \frac{3}{2}$

[Tea Coffee]

10) $VT^{2}\leq 3(\sum \frac{a}{b+c+2a})\leq \frac{3}{4}(\sum \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b})=\frac{9}{4}=>VT\leq \frac{3}{2}$

8) $\frac{P}{\sqrt{2}}=\sum \frac{1}{\sqrt{2x(y+z)}}\geq \sum \frac{2}{2x+y+z}\geq \frac{18}{4(x+y+z)}=\frac{1}{4\sqrt{2}}=>P\geq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 29-05-2018 - 15:16

[PhanThai0301]

$4, a,b,c>0, a+2b+3c\geq 10, CMR: P= a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8a}+\frac{1}{c}\geq \frac{13}{2}$
 

P/s: mình nghĩ bài này ko ra trong kì thi chuyên đâu.

  Giả sử P đạt GTNN tại a= x, b= y, c= z thì $x+2y+z=10$.                                                                             (1)

  Ta có: $\frac{3}{4a}=\frac{3}{4x}=\frac{3a}{x^{2}};\frac{9}{8b}=\frac{9}{8x}=\frac{9a}{x^{2}};\frac{1}{c}=\frac{1}{z}=\frac{c}{z^{2}}$.

  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có;

       $\frac{3}{4a}+\frac{3a}{x^{2}}\geq \frac{3}{x}$.

      $\frac{9}{8b}+\frac{9b}{8y^{2}}\geq \frac{9}{4y}$.

       $\frac{1}{c}+\frac{c}{z^{2}}\geq \frac{2}{z}$

  => $P\geq a(1-\frac{3}{x^{2}})+b(1-\frac{9}{8y^{2}})+c(1-\frac{1}{z^{2}})+\frac{3}{x}+\frac{9}{4y}+\frac{2}{z}$.

   Để sử dụng được GT thì $1-\frac{3}{x^{2}}=\frac{1-\frac{9}{8y^{2}}}{2}=\frac{1-\frac{1}{z^{2}}}{3}$    (2)

   Từ (1); (2) ta tìm ra x, y ,z thay lại vào biểu thức ta tìm được GTNN của P là $\frac{13}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 29-05-2018 - 15:20

[Tea Coffee]

2) Min

$P^{2}=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b)(a+c)}+2\sqrt{(a+c)(b+c)}+2\sqrt{(a+b)(b+c)}\geq 2+2(a+\sqrt{bc})+2(c+\sqrt{ab})+2(b+\sqrt{ac})=4+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\geq 4=>P\geq 2$

Dấu bẳng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,0,1)$ và hoán vị.

Max

$P^{2}\leq 3(a+b+b+c+a+c)=3.2(a+b+c)=6=>P\leq \sqrt{6}$

Dấu bẳng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

3) Here:

https://diendantoanh...-năm-2013-2014/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 29-05-2018 - 15:35

[PhanThai0301]

$7,a,b,c>0, a+b+c=3:Min:P=\sum a^{2}+\frac{ab+ac+bc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
 

 Áp dụng bổ để $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ ta có:

  $P\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$+\frac{9-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$.

 Đặt $t=a^{2}+b^{2}+c^{2}=>t\geq 3.$

 Ta được $P\geq t+\frac{9-t}{2t}\geq 4$. Dấu bằng xảy ra khi a= b =c =1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 29-05-2018 - 21:59

[xuanhoan23112002]

Bài 3: Theo giả thiết ta có $0\leq a, b, c\leq 4$ nên

$$(4-a)(4-b)(4-c) \geq 0$$

$\Leftrightarrow 64+4(ab+bc+ca) \geq abc+16(a+b+c)$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 8+\frac{abc}{4}\geq 8$ 

Do đó ta có: $P=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-8=28$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a, b, c)=(0, 2, 4)$ và các hoán vị của nó

Vậy $MaxP=28$ $\Leftrightarrow (a, b, c)=(0, 2, 4)$ và các hoán vị của nó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 29-05-2018 - 15:47

[PugMath]

câu 1 ) $P=\frac{xyz(\sum{x})}{\sum{x^2}\sum{xy}}+\frac{xyz}{\sqrt{\sum{x^2}}\sum{xy}}=\frac{xyz(\sum{x})}{\sum{x^2}\sum{xy}}+\frac{1}{\sqrt{\sum{x^2}}\left ( \sum{\frac{1}{x}} \right )}\leqslant \frac{(\sum{xy})^2}{3\sum{x^2}\sum{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{(\sum{x})(\frac{9}{x+y+z})}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$

[buingoctu]

 

$10,a,b,c>0, CMR: \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\leq \frac{3}{2}$

C2;

Ta thấy $\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}.\frac{1}{4}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{1}{4})<=> \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\leq \frac{a}{b+c+2a}+\frac{1}{4}$.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 29-05-2018 - 17:26

[thien huu]

Bài 6: Áp dụng C-S:

$(9a^{3}+3b^{2}+c)(\frac{1}{a}+3+9c)\geq 9(a+b+c)^{2}=9$

$< = > \frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}\leq \frac{1+3a+9ca}{9}$

Tương tự với các phân thức còn lại, ta được:

$P\leq \frac{3+3(a+b+c)+9(ab+bc+ca)}{9}\leq \frac{6+3(a+b+c)^{2}}{9}=1$