Đến nội dung

Hình ảnh

$$\min\left \{ 2\,a-1/b,\, 2\,b-1/c,\,2\,c-1/a\right \}\leqq 1 $$

inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho các số thực khác không $a,\,b,\,c$ thỏa $abc= 1$. Chứng minh:

 

$$\min\left \{ 2\,a-\frac{1}{b},\, 2\,b-\frac{1}{c},\,2\,c-\frac{1}{a}\right \}\leqq 1 $$

 

 



#2
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Bài này có một cách chứng minh rất hay là sử dụng phương pháp phản chứng. Lời giải như sau:

Nếu trong 3 số $a,b,c$ có hai số âm, một số dương giả sử $a>0,b>0$ và $c<0.$

Khi đó $2c-\frac{1}{a}< 0$. Do đó:  $\min\left \{ 2\,a-\frac{1}{b},\, 2\,b-\frac{1}{c},\,2\,c-\frac{1}{a}\right \}\leq 1$

Nếu cả 3 số đều dương:

Giả sử $\min\left \{ 2\,a-\frac{1}{b},\, 2\,b-\frac{1}{c},\,2\,c-\frac{1}{a}\right \}>  1 $

$=> 2a-\frac{1}{b}>1,2b-\frac{1}{c}>1,2c-\frac{1}{a}>1$

Có: $2a-\frac{1}{b}> 1$

$<=> 2ab> b+1$ . Tương tự, $2bc> c+1$, $2ca> a+1$. 

$=> 2\sum ab> a+b+c+3\geq 3\sqrt[3]{abc}+3=6$

$=> \sum ab> 3$

Lại có:

$2ab>b+1$ 

$=> 2> bc+c$. 

$=> 6> a+b+c+ab+bc+ca$

$<=> a+b+c< 6-ab-bc-ca< 6-3=3$ . (do $\sum ab> 3$)

$<=> a+b+c< 3$

Mặt khác, ta có:

$3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}< 3^{2}=9$

$<=> ab+bc+ca< 3$ ( vô lý vì ta vừa chứng minh ở trên là $ab+bc+ca> 3$)

Do đó:

$\min\left \{ 2\,a-\frac{1}{b},\, 2\,b-\frac{1}{c},\,2\,c-\frac{1}{a}\right \}\leq 1$

Kết hợp cả hai trường hợp lại , ta sẽ có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 30-05-2018 - 15:03

Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$i)\, a,\,b<0,\,c>0\Rightarrow \,2\,b-c< 0< 1$

$ii)\,a,\,b,\,c>0:\,\sum\limits_{cyc}\left ( 2\,a- \frac{1}{b}- 1 \right )= 6\,abc-  \sum\limits_{cyc}c-\sum\limits_{cyc}bc\leqq 6\,abc- 3\,\sqrt[3]{abc}- 3\,\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 0$

$\Rightarrow \min\left \{ 2\,a- \frac{1}{b}- 1,\,2\,b- \frac{1}{c}- 1,\,2\,c- \frac{1}{a}- 1 \right \}\leqq 0$

$\Rightarrow \min\left \{ 2\,a- \frac{1}{b},\,2\,b- \frac{1}{c},\,2\,c- \frac{1}{a} \right \}\leqq 1$ (quod erat demonstrandum)

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inequality

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh