Chủ đề này có 7 trả lời

[trambau]

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 30/5/2018

Câu 1: Cho biểu thức

$$P=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}.\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$$

Với $x>1$

1. Rút gọn biểu thức $P$

2. Tìm $x$ để $P=x-1$

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $BC=a, AB=b$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Qua điểm $M$ dựng đường thẳng cắt đường chéo $AC$ của hình chữ nhật $ABCD$ tại $P$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$.

1. Khi $MP\perp AC$ hãy

a) Tính $PQ$ theo $a$ và $b$

b) chứng minh $a.BP=b.PN$

2) chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{MNQ}$ ( Không nhất thiết $MP$ và $AC$ vuông góc với nhau)

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

Ảnh cho bạn nào cần

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 30-05-2018 - 18:22

[HelpMeImDying]

 

 

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

 

Xét $x=0\Rightarrow P=0$

Xét $P\neq 0\Rightarrow (x,x_{1},x_{2},...,x_{9})\neq 0$

Đặt $A=(x_{1}+1)(x_{2}+2)...(x_{9}+1);B=(1-x_{1})(1-x_{2})...(1-x_{9})$

Nếu $x> 0\Rightarrow A,B> 0$

Tồn tại 1 thừa số thuộc A>0. Giả sử $x_{i}+1> 0\Rightarrow 1-x_{i}< 2$

mà $x_{i}\neq 0;1\Rightarrow 1-x_{i}\neq 0;1\Rightarrow 1-x_{i}< 0\Rightarrow \frac{B}{1-x_{i}}< 0$ nên tồn tại 1 thừa số thuộc B (khác $1-x_{i}$) <0

Giả sử $1-x_{j}< 0\Rightarrow 1+x_{j}> 0\Rightarrow \frac{A}{(1+x_{i})(1+x_{j})}> 0$ nên tồn tại 1 thừa số thuộc A (khác $1+x_{i},1+x_{j}$) >0

Tiếp tục như vây suy ra tất cả thừa số trong B đều <0$\Rightarrow B< 0$$\Rightarrow$ mâu thuẫn

Lập luận tương tự với x<0 ta cũng suy ra được điều vô lí

Vậy $x=0\Rightarrow P=0$

[Khoa Linh]

Bài hình lời giải theo thầy Nguyễn Lê Phước (thực chất phần b hình có trong nâng cao và phát triển toán 8)

[Vucodon]

Câu 3 a em xin có cách sau.
Có x^3=x+1 nên x;x+1 cùng dấu.
Mặt khác x(x+1)(x-1)=1
Nếu x=0 suy ra vô lý
Nếu x nhỏ hơn 0 thì x+1;x-1 nhỏ hơn không thì x(x+1)(x-1) nhỏ hơn không nhỏ hơn một. Suy ra vô lý.
Suy ra x lớn hơn 0

[trambau]

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

 

 

 

 

Xin làm câu dài nhất cho bạn nào cần

ĐK: $0<x<100$

Năm 2016 nhà máy sản xuất được $5000-5000x$ % $=5000(1-\frac{x}{100})$ sản phẩm

Năm 2017 nhà máy sản xuất được $5000(1-\frac{x}{100})-5000(1-\frac{x}{100})x$ % $=5000(1-\frac{x}{100})^2$ sản phẩm

Năm 2017 giảm 51% so với năm 2015 nên số sản phẩm năm 2017 làm được bằng 49% số sản phẩm làm được năm 2015 

PT: $\frac{500(1-\frac{x}{100})^2}{5000}=\frac{49}{100}\Rightarrow x=30$

[BurakkuYokuro11]

 

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

 

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

 

 

$1+xo= xo^3$ nên ta có : 

$2xo^2+3xo+2 = 2xo^2 + xo+2xo^3 = xo(1+2xo+2xo^2)=xo(xo^3+xo+2xo^2)= xo^2(1+xo)^2= xo^8$

Suy ra : $P=\frac{xo^2-1}{xo^3}.xo^4= xo^3-xo=1$

-------------------------------------------------------------------

Chúng ta hoàn thành đề chuyên đhsp phải không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 30-05-2018 - 23:46

[etucgnaohtn]

 

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 30/5/2018

Câu 1: Cho biểu thức

$$P=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}.\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$$

Với $x>1$

1. Rút gọn biểu thức $P$

2. Tìm $x$ để $P=x-1$

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $BC=a, AB=b$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Qua điểm $M$ dựng đường thẳng cắt đường chéo $AC$ của hình chữ nhật $ABCD$ tại $P$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$.

1. Khi $MP\perp AC$ hãy

a) Tính $PQ$ theo $a$ và $b$

b) chứng minh $a.BP=b.PN$

2) chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{MNQ}$ ( Không nhất thiết $MP$ và $AC$ vuông góc với nhau)

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

Ảnh cho bạn nào cần

 

Câu 1:

1)

Đặt $A=\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$

Đặt $B=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

Khi đó $P=AB$

Ta có $\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}=\frac{2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}$

$\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}$

Do đó 

$A=\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}=\frac{2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$

Ta có $B=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

Ta có $P=AB=\frac{2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}.\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{(2x\sqrt{x+1}-(x+1)\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{2x(x+1)-(x+1)(x-1)+(x-1)\sqrt{(x-1)(x+1)}}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{(x+1)^2+(x-1)\sqrt{(x-1)(x+1)}}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\frac{\sqrt{x+1}[(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}]}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}$

$=\sqrt{x+1}$

Vậy $P=\sqrt{x+1}$

2)

$P=x-1$ 

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 & \\ x^2-3x=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=3$

Vậy để $P=x-1$ thì phải có $x=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-06-2018 - 15:06

[etucgnaohtn]

 

Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 1

Thời gian 120 phút

Ngày thi 30/5/2018

Câu 1: Cho biểu thức

$$P=\frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}+(x-1)\sqrt{x-1}}.\frac{\frac{2x}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}$$

Với $x>1$

1. Rút gọn biểu thức $P$

2. Tìm $x$ để $P=x-1$

 

Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x

 

Câu 3 cho phương trình $x^3-x-1=0$. giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho

1. Chứng minh $x_0>0$

2. Tính giá trị của biểu thức 

$$M=\frac{x_0^2-1}{x_0^3}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$$

 

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $BC=a, AB=b$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Qua điểm $M$ dựng đường thẳng cắt đường chéo $AC$ của hình chữ nhật $ABCD$ tại $P$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$.

1. Khi $MP\perp AC$ hãy

a) Tính $PQ$ theo $a$ và $b$

b) chứng minh $a.BP=b.PN$

2) chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{MNQ}$ ( Không nhất thiết $MP$ và $AC$ vuông góc với nhau)

 

Câu 5. Các số nguyên $x,x_1,x_2,...x_9$ thỏa mãn

$$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_9)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_9)=x$$

Tính $P=x.x_1.x_2...x_9$

Ảnh cho bạn nào cần

 

Câu 3:
1)
Ta có

$x^3-x-1=0(*)$

$\Leftrightarrow x^3-x-1+x^2=x^2$

Mà $x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên

$x^3+x^2-x-1\geq 0$ 
$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)^2\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x-1\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x\geq 1$ với mọi $x$

Vì $x_0$ là 1 nghiệm của pt $(*)$ nên $x_0\geq 1(**)$

Suy ra $x_0>0$ (đ.p.c.m)

2)

_Theo $(**)$ ta có $x_0\geq 1$
Suy ra $x_0^2\geq 1$
Hay $x_0^2-1\geq 0$
_Vì $x_0>0$ nên $x_0^3>0$
Do đó $\frac{x_0^2-1}{x_0^3}=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2}{x_0^6}}$

Ta có

$M=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2}{x_0^6}}.\sqrt{2x_0^2+3x_0+2}$

$=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2(2x_0^2+3x_0+2)}{x_0^6}}$

$=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2(2x_0^2+3x_0+2)}{(x_0^3)^2}}$

$=\sqrt{\frac{(x_0^2-1)^2(2x_0^2+3x_0+2)}{(x_0+1)^2}}$( vì $x_0$ là nghiệm pt $(*)$ nên $x_0^3=x_0+1$ ) 

$=\sqrt{2x_0^4-x_0^3-2x_0^2-x_0+2}$

Vì $x_0^3-x_0-1=0$ suy ra $x_0^4-x_0^2-x_0=0$ 
Từ đó ta có $\left\{\begin{matrix} x_0^3=x_0+1 & \\ x_0^4=x_0^2+x_0 & \end{matrix}\right.$

Thay vào ta được 
$M=\sqrt{2(x_0^2+x_0)-(x_0+1)-2x_0^2-x_0+2}=\sqrt{1}=1$

Vậy $M=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-06-2018 - 15:53