Chủ đề này có 11 trả lời

[conankun]

      BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

 

ĐỀ THI TUYÊN SINH

VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2018

Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

 

Câu 1: Cho số thực x, y không âm thoả mãn $(x+1)(y+1)=2$. Tính giá trị của biểu thức:

$P=\sqrt{x^2+y^2-\sqrt{2(x^2+1)(y^2+1)}+2}+xy$

Câu 2: Cho các số thực x,y,z không âm thoả mãn $x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6$

Tìm min và max của $Q=x+y+z$

Câu 3: 

1) Cho biểu thức:

$M=\frac{(a+b)^2}{a^3+ab^2-a^2b-b^3}$

Với a,b là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh ra M không thể nhận giá trị nguyên.

2) Cho a,b là 2 số nguyên dương, đặt: 

$A=(a+b)^2-2a^2, B=(a+b)^2-2b^2$

Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.

Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB<AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy P sao cho AP vuông góc với PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q. Chứng minh rằng:

1) PB = PQ

2) O là trực tâm tam giác ADE

3) góc PAO = góc QAC

Câu 5: Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu 2 người có số người quen nhau bằng nhau thì họ không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp)

1) Xây dựng ví dụ để S=870

2) Chứng minh rằng $S\geq 870$

 

++Hết++

(Nguồn: Fb         Sưu tầm: NguyenHoaiTrung)

 

 

 

Hình dành cho những người cần: https://www.facebook...&type=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 31-05-2018 - 21:37

[Tea Coffee]

Mới làm được có ý GTLN

$9=\sum x^{2}+\sum (x^{2}y^{2}+1)\geq \sum x^{2}+\sum 2xy=(x+y+z)^{2}$

$=>x+y+z\leq 3<=>x=y=z$

[Tea Coffee]

3)1)

Giả sử M nhận giá trị nguyên. Đặt $\frac{(a+b)^{2}}{a^{3}+ab^{2}-a^{2}b-b^{3}}=m(m\epsilon \mathbb{Z})$

$<=>(a+b)^{2}=m(a^{3}-b^{3})+mab(b-a)=m(a-b)(a^{2}+b^{2})\geq m(a-b)\frac{(a+b)^{2}}{2}$

$=>(a+b)^{2}\geq m(a-b).\frac{(a+b)^{2}}{2}=>2\geq m(a-b)$

Do $m(a-b)=\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq 0$

$=>m(a-b)=0,1,2$

Đến đây xét từng trường hợp rồi lập phương trình ước chỉ ra vô nghiệm (thế cả giá trị của $m$ và quan hệ giữa $a$ và $b$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 31-05-2018 - 17:49

[Khoa Linh]

Bài hình ý cuối là khó hơn cả 

Lời giải: thầy Nguyễn Lê Phước

[Khoa Linh]

3)1)

Giả sử M nhận giá trị nguyên. Đặt $\frac{(a+b)^{2}}{a^{3}+ab^{2}-a^{2}b-b^{3}}=m(m\epsilon \mathbb{Z})$

$<=>(a+b)^{2}=m(a^{3}-b^{3})+mab(b-a)=m(a-b)(a^{2}+b^{2})\geq m(a-b)\frac{(a+b)^{2}}{2}$

$=>(a+b)^{2}\geq m(a-b).\frac{(a+b)^{2}}{2}=>2\geq m(a-b)$

Do $m(a-b)=\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq 0$

$=>m(a-b)=0,1,2$

Đến đây xét từng trường hợp rồi lập phương trình ước chỉ ra vô nghiệm (thế cả giá trị của $m$ và quan hệ giữa $a$ và $b$)

Câu này mình nghĩ như này đơn giản hơn.

Giả sử $\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a^2+b^2)}$ là số nguyên thì $(a+b)^2\vdots a^2+b^2\Leftrightarrow 2ab\vdots a^2+b^2\Rightarrow 2ab\geq a^2+b^2\Rightarrow a=b$

Điều này vô lý 

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 31-05-2018 - 17:53

[tambedexaucho]

Giá trị lớn nhất x+y+z=3 khi x=y=z=1
Giá trị nhỏ nhất x+y+z=-3 khi x=y=z=-1
Chỗ (x+y+z)^2<=3 thì suy ra 3>= x+y+z >=-3 chứ

[danglamvh]

x,y,z không âm!

[Khoa Linh]

Ta có: 

$(xy+yz+zx)^2\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

Suy ra $6=x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq x^2+y^2+z^2+(xy+yz+zx)^2=(x+y+z)^2+(xy+yz+zx-2)(xy+yz+zx)$

Nếu $xy+yz+zx \leq 2$ thì $6\leq (x+y+z)^2\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{6}$

Nếu $xy+yz+zx > 2$ thì $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)>6\Rightarrow x+y+z>\sqrt{6}$ 

Vậy GTNN là $\sqrt{6}$ khi 2 số bằng 0 và số còn lại là $\sqrt{6}$

- Sưu tầm -

[supernatural1]

Chém câu 1 tí: Từ giả thiết có x+y=1-xy.

Ta có: $ 2(x^{2}+1)(y^{2}+1) =2[x^{2}y^{2}+(x+y)^{2}-2xy+1]=4(xy-1)^{2} $

Đến đây thì xong rồi thế vào là xong

[VuQuyDat]

Ta có: 

$(xy+yz+zx)^2\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

 

   giaỉ thích cho mik vs

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VuQuyDat: 31-05-2018 - 23:24

[MoMo123]

Câu số

TH1: Không có 2 số nào trong $A,B$ là số chính phương -> ĐPCM

TH2:Chỉ có một số là số chính phương -> ĐPCM

TH3: Cả 2 số đều là số chính phương

Đặt $$c^2=b^2+2ab-a^2$$

$$ d^2=a^2+2ab-b^2$$

Dễ dàng lí luận được $a,b$ cùng chẵn

Đặt $a=2m \, ; b=2n$$(m , n \in N*$)

$\rightarrow c,d$ cũng chẵn

Đặt $c=2c_{1}; d=2 d_{1}$$(c_{1}; d_{1} \in N*)$

$$\rightarrow n^2+2mn -m^2 =c_{1}^2;  \,\,\,\, m^2+2mn -n^2 =d_{1}^2$$

Tương tự  như trên, ta lí luận được m, n cũng cùng chẵn

Nên ta có thể suy ra $a,b$ chia hết cho $2^k$ với mọi k

Sử dụng phép lùi vô hạn, ta được $(a,b)=(0,0) $(vô lí)

Nên không thể tồn tại cả 2 số đều là số chính phương ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 31-05-2018 - 23:19

[Khoa Linh]

Đáp án có tại đây: 

 

File gửi kèm

•  loi giai de csp - 2018.pdf   166.16K   711 Số lần tải