Chủ đề này có 1 trả lời

[PhanThai0301]

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN của biểu thức:

        P =  $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc$.

[MoMo123]

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN của biểu thức:

        P =  $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc$.

Giống đề thi Phú Thọ năm ngoái

Solution:

Xét $3(a^2+b^2+c^2) =3[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]=27-6(ab+bc+ca)=27-2(a+b+c)(ab+bc+ca) =27-2(\sum a^2b +\sum ab^2+3abc) $

Nên $$P=27-2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$$

KMTTQ, giả sử $b$ nằm giữa $a,\,c$

$\rightarrow a(b-c)(b-a) \leq 0 $

$$\Leftrightarrow ab^2+ca^2 \leq a^2b+abc$$

$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq a^2b+bc^2+2abc =b(a+c)^2  =\frac{2b(3-b)(3-b)}{2} \leq 4$$

Nên $P =27-2(a^2b+b^2+c^2a+abc) \geq 27-2b(a+c)^2 \geq 27-8 =19$

Dấu bằng xảy ra tại $$a=b=c=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 01-06-2018 - 12:49