Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 6 Bình chọn

Một kết quả kì lạ?

toán học lý thú

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1505 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Homotopy theory and generalized cohomology theories

Đã gửi 01-06-2018 - 23:27

Hôm nay mình sẽ viết một bài viết dành cho tất cả mọi người, bài viết về định lý Riemann cho tổng hoán vị của chuỗi số. Bài viết sẽ cần một chút kiến thức về giới hạn và như vậy thì sẽ phù hợp với đa số các bạn học THPT.

 

Chắc hẳn các bạn hay thấy người ta viết một số kết quả kì lạ như kiểu:

 

$$1 + 2 + 3 + ... + n + ... = \frac{-1}{12}$$

 

Hay là

 

$$1 - 1 + 1 - 1 + ... = \frac{1}{2}$$

 

Và kèm theo đó là các lời giải thích như chúng được dùng trong vật lý hoặc ở đâu đó? Các chuỗi số vô hạn luôn tạo ra các kết quả kì lạ, nhưng dưới góc nhìn thông thường của toán học thì hai kết quả vừa trên là sai nhé! Bây giờ ta cần một chút lý thuyết.

 

Giới hạn của dãy số:

 

Một dãy số thực $a_{1},a_{2},...a_{n},...$ viết gọn thành $(a_{n})$ được gọi là hội tụ đến số thực $a$ nếu với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại số tự nhiên chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$, kí hiệu là $N_{\varepsilon}$ sao cho 

 

$$|a_{n} - a| < \epsilon \forall n \geq N_{\varepsilon}$$

 

Giới hạn của dãy số ( nếu tồn tại ) thì là duy nhất ( và ta kí hiệu $a = \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim a_{n}$ ). Bạn có thể dễ dàng chứng minh điều này. Ở đây dấu $|\cdot|$ là ám chỉ trị tuyệt đối.

 

Chuỗi số

 

Cho một dãy số thực $(a_{n})$. Chuỗi hình thức tương ứng với dãy này là:

 

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...$$

 

Ta gọi số thực

 

$$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$$ 

 

Là tổng riêng thứ $n$ với $n=1,2,...$. Số $a_{n}$ gọi là từ thứ $n$, hay số hạng tổng quát thứ $n$.

 

Còn kí hiệu hình thức

 

$$r_{n} = \sum_{k=n+1}^{\infty}a_{k}$$

 

Gọi là phần dư thứ $n$.

 

Ta gọi chuỗi số $\sum a_{n}$ là hội tụ nếu dãy số $(S_{n})$ hội tụ về một số thực $S$ nào đó, khi đó ta gọi $\sum a_{n} = S$ là tổng của nó. Trong trường hợp giới hạn là vô cùng thì ta gọi là phân kỳ, còn không thì gọi là dao động.

 

Tiếp theo là một số kết quả của lý thuyết dãy và lý thuyết chuỗi số: ( bạn có thể công nhận chúng và đọc tiếp ) 

 

$1)$ Nếu chuỗi $\sum a_{n}$ hội tụ thì $\lim a_{n} = 0$

 

$2a)$ Dãy số thực $(a_{n})$ hội tụ khi và chỉ khi với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại $N_{\varepsilon}$ chỉ phụ thuộc $\varepsilon$ sao cho $|a_{m} - a_{n}| < \varepsilon \forall m,n \geq N_{\varepsilon}$

 

$2b)$ Chuỗi $\sum a_{n}$ hội tụ khi và chỉ khi với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại $N_{\varepsilon}$ sao cho với mọi $n \geq N_{\varepsilon}, p \geq 1$ ta có

 

$$|\sum_{k=n}^{n+p} a_{k} | < \varepsilon$$

 

$3)$ Sự hội tụ của chuỗi số $\sum a_{n}$ không phụ thuộc vào các số hạng đầu của nó.

 

$4a)$ Dãy số thực $(a_{n})$ đơn điệu tăng và tồn tại số thực $b$ mà $a_{n} \leq b \forall n$ thì tồn tại $\lim a_{n}$

 

$4b)$ Giả sử $a_{n} \geq 0 \forall n \geq N$ nào đó. Khi đó chuỗi $\sum a_{n}$ hội tụ khi và chỉ khi dãy $(S_{n})$ bị chặn.

 

$5)$ Cho hai chuỗi hội tụ $\sum a_{n}, \sum b_{n}$ thì chuỗi $\sum (a_{n} + b_{n})$ cũng hội tụ và 

 

$$\sum (a_{n} + b_{n}) = \sum a_{n} + \sum b_{n}$$

 

Từ đây ta suy ra một số điều hay ho, ví dụ từ $1)$ ta suy ra rằng các chuỗi $1 + 2 + 3 + ...$ và $1 - 1 + 1 - 1 + ....$ không thể hội tụ theo nghĩa thông thường, tức là khi người ta viết vậy thì bạn hiểu rằng người ta đã thay dấu giá trị tuyệt đối trong định nghĩa bằng một cái gì đó khác nhưng na ná giống vậy.

 

Chuỗi hội tụ tuyệt đối

 

Định nghĩa:

 

$i)$ Một song ánh $\pi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ gọi là một hoán vị các số tự nhiên, tức là bạn hiểu rằng thay vì viết $1,2,3,4,...$ người ta viết thành $2,5,3,1,4,6,...$ và mỗi cách viết như vậy gọi là một song ánh.

$ii)$ Chuỗi $\sum a_{n}$ gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi $\sum |a_{n}|$ hội tụ. ( bạn có thể chứng minh nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ )

$iii)$ Chuỗi $\sum a_{n}$ gọi là hội tụ không điều kiện nếu chuỗi $\sum_{n} a_{\pi(n)}$ hội tụ với mọi song ánh $\pi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 

$iv)$ Chuỗi $\sum a_{n}$ gọi là bán hội tụ nếu bản thân nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.

$v)$ $a'_{n} = \frac{|a_{n}|+a_{n}}{2},a''_{n} = \frac{|a_{n}|-a_{n}}{2}$

 

Định lý Dirichlet: Nếu chuỗi $\sum a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ không điều kiện và $\sum a_{n} = \sum a_{\pi(n)}$.

 

Chứng minh định lý này khá dễ nên mình bỏ qua, bạn nào muốn có thể tự search google.

 

Sau đây là kết quả kì lạ mà mình muốn nói, chuỗi bán hội tụ không thể hoán vị các số hạng như chuỗi hội tụ tuyệt đối.

 

Định lý Riemann: Nếu chuỗi $\sum a_{n}$ bán hội tụ và $-\infty \leq a \leq \infty$ là số thực cho trước ( có thể bằng vô cùng ). Khi đó tồn tại một hoán vị $\pi$ sao cho

 

$$\sum a_{\pi(n)} = a$$

 

Chứng minh:

 

Gọi $(p_{n})$ là dãy con của dãy $(a'_{n})$ chứa tất cả các số hạng mà $a'_{n} = a_{n}$, tương tự ta định nghĩa dãy $(q_{n})$ ( ta có thể giả sử không có số hạng nào là $0$ ).

 

Vì $\sum a_{n}$ bán hội tụ nên hai chuỗi $\sum p_{n}, \sum q_{n}$ phải phân kỳ. 

 

Chọn $N_{1}$ là số $N$ nhỏ nhất mà 

 

$$\sum_{i=1}^{N} p_{i} > a$$

 

Khi đó:

 

$$S_{1} - a = \sum_{i=1}^{N_{1}}p_{i} - a \leq p_{N_{1}}$$

 

Chọn $M_{1}$ là số $M$ nhỏ nhất mà:

 

$$\sum_{i=1}^{N_{1}} p_{i} + \sum_{i=1}^{M_{1}} q_{i} < a$$

 

Khi đó:

 

$$0 \leq a - T_{1} = a - (\sum_{i=1}^{N_{1}}p_{i} + \sum_{i=1}^{M_{1}} q_{i}) \leq -q_{M_{1}}$$

 

Cứ như vậy bằng quy nạp ta xây dựng được các dãy $N_{1},N_{2},...$ và $M_{1},M_{2},...$ sao cho:

 

$$0 \leq S_{k} - a \leq p_{N_{k}}, 0 \leq a - T_{k} \leq -q_{M_{k}}$$

 

Và ta sắp xếp lại chuỗi ban đầu theo quy tắc sau:

 

$$( p_{1},...p_{N_{1}},q_{1},...q_{M_{1}},p_{N_{1}+1},...p_{N_{2}},...)$$

 

Đó chính là hoán vị cần tìm, vì $\lim a_{n} = 0$ nên chuỗi mới sau khi hoán vị có tổng là $a$.

 

Ví dụ:

 

Một ví dụ điển hình của kết quả này là chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$. Có thể chỉ ra một cách xây dựng rất cụ thể của chuỗi này khi hoán vị nhưng minh không nhớ rõ lắm nên đành dành cho các bạn vậy.

Tác giả: Phạm Khoa Bằng - bangbang1412

Tham khảo: Bài giảng giải tích tập $I$ - Nguyễn Duy Tiến


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-06-2018 - 00:10

" As Grothendieck taught us , objects aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre


#2 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 15-06-2018 - 10:24

no hiểu



#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1505 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Homotopy theory and generalized cohomology theories

Đã gửi 15-06-2018 - 11:56

no hiểu


Chào bạn, với một tổng hữu hạn hay một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì bạn có thể đổi chỗ các số hạng mà không làm thay đổi tổng. Nhưng với một chuỗi bán hội tụ thì mỗi khi bạn đổi chỗ các số hạng noi chung sẽ không giữ nguyên tổng mà thậm chí nó còn nhận được tất cả các số thực. Điều này rõ ràng trái với trực giác thông thường.

" As Grothendieck taught us , objects aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre


#4 Su-tu

Su-tu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Đã gửi 25-06-2018 - 09:48

Ẩn trong khái niệm “Vô hạn” còn rất nhiều điều kỳ lạ và lý thú.



#5 forummail2902

forummail2902

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 18-07-2018 - 14:48

Hic không hiểu bạn ơi



#6 HocHay

HocHay

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2018 - 16:56

khó hiểu quá huhu







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán học lý thú

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh