Chủ đề này có 2 trả lời

[PhanThai0301]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

    $\frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(a+c-b)^{2}}{2b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{(a+b-c)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a+b+c)^{2}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 03-06-2018 - 21:26

[DOTOANNANG]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

    $\frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(a+c-b)^{2}}{2b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{(a+b-c)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$.

 

Thay $a= b= c$ thì không đúng, có vẻ mẫu của vế phải phải nhân với $2$!

[DOTOANNANG]

Phải chuẩn hóa $a+ b+ c= 3$, thế nên ta được:

 

$$\sum\limits_{cyc}\frac{\left ( b+ c- a \right )^{2}}{2\,a^{2}+ \left ( b+ c \right )^{2}}\geqq \frac{3\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2}  \right )}{2\left ( a+ b+ c \right )^{2}}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{\left ( 3- 2\,a \right )^{2}}{2\,a^{2}+ \left ( 3- a \right )^{2}} \geqq \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}}{6}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{\left ( 1- a \right )\left ( a+ 3 \right )\left ( a^{2}- 4\,a+ 6 \right )}{6\left ( a^{2}- 2\,a+ 3 \right )}\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{\left ( 1- a \right )\left ( a+ 3 \right )\left ( a^{2}- 4\,a+ 6 \right )}{6\left ( a^{2}- 2\,a+ 3 \right )}+ \sum\limits_{cyc}\left ( a- 1 \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{\left ( 6- a \right )a\left ( a- 1 \right )^{2}}{6\left ( a^{2}- 2\,a+ 3 \right )}\geqq 0$$