Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho hàm số $ f(x)=(3x^{2}-2x-1)^{9} $. Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại x=0

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $ f(x)=(3x^{2}-2x-1)^{9} $. Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại x=0

Giả sử sau khi khai triển, ta có :

$f(x)=a_{18}x^{18}+a_{17}x^{17}+a_{16}x^{16}+...+a_1x+a_0$

Sau khi đạo hàm $6$ lần, ta có :

$f^{(6)}(x)=b_{12}x^{12}+b_{11}x^{11}+b_{10}x^{10}+...+b_1x+b_0$

$\Rightarrow f^{(6)}(0)=b_0$ (các số hạng khác đều triệt tiêu)

Lưu ý rằng $b_0$ chính là $a_6x^6$ đạo hàm $6$ lần. Do đó đầu tiên cần tìm $a_6$

 

$f(x)=(3x^2-2x-1)^9=(x-1)^9(3x+1)^9$

$(x-1)^9=...-C_9^3x^6+C_9^4x^5-C_9^5x^4+C_9^6x^3-C_9^7x^2+C_9^8x-1$

$(3x+1)^9=...+C_9^3.729x^6+C_9^4.243x^5+C_9^5.81x^4+C_9^6.27x^3+C_9^7.9x^2+C_9^8.3x+1$

$\Rightarrow a_6=-C_9^3+C_9^4.C_9^8.3-C_9^5.C_9^7.9+C_9^6.C_9^6.27-C_9^7.C_9^5.81+C_9^8.C_9^4.243-C_9^3.729=-84$

$f^{(6)}(0)=(-84x^6)^{(6)}=-84.6!=-60480$.