Chủ đề này có 8 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

 

[NguyenHoaiTrung]

Đề thi vào 10 chuyên KHTN Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chuyên - vòng 2

Thời gian 120 phút

Ngày thi 04/6/2018

Câu I:

1) Giải hệ phương trình   

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2 & & \\ x^3+y^3+x^3y^3 +7(x+1)(y+1)=31 & & \end{matrix}\right.$

2)Giải phương trình  $9+3\sqrt{x(3-2x)} =7\sqrt{x} +5\sqrt{3-2x}$

Câu II

1) Cho $x,y$ là các số nguyên sao cho $x^2-2xy-y$ va $xy-2y^2-x$ đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng $2x^2+y^2+2x+y$ cũng chia hết cho 5 

2) Cho $a_1,a_2,...,a_{50}$ là các số nguyên thỏa mãn 

$1\leq a_1\leq a_2\leq ...\leq a_{50}\leq 50$ và $a_1 +a_2 +...+a_{50}=100$

Chứng minh rằng từ các số đã cho ta có thể chọn một vài số có tổng bằng 50

Câu III Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $CD$ song song với $BE$. Hai đường chéo $CE$ và $BD$ cắt nhau tại $P$. Điểm $M$ thuộc đoạn thằng $BE$ sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{PAE}$. Điểm $K$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $MK$ song song với $AD$, điểm $L$ thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $ML$ song song với $AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$ lần lượt cắt $BD,CE$ tại $Q,S$ ($Q$ khác $B$, $S$ khác $C$).

1) Chứng minh rằng ba điểm $K, M, Q$ thẳng hàng.

2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $LDE$ lần lượt cắt $BD,CE$ tại $T,R$ ($T$ khác $D$, $R$ khác $E$). Chứng minh năm điểm $M, S,Q ,R ,T$ thuộc một đường tròn.

3)Chứng minh rằng  đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$

Câu IV Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng 

$(\sqrt\frac{ab}{a+b} + \sqrt\frac{bc}{b+c})(\frac{1}{\sqrt{a+b}} +\frac{1}{\sqrt{b+c}}) \leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 04-06-2018 - 15:17

[WangtaX]

Câu tổ hợp dễ !

TH1 : a₁=a₂=..=a₅₀

Suy ra a₁+a₂+..+a₂₅=50

TH2: Tồn tại ít nhất 2 số phân biệt, kmttq là a₁ và a₂

Đặt S₀=a₁, S₁=a₂, S₂ = a₁+a₂, .... , S ₄₉ = a₁+a₂+..+a_49.

Dễ thấy 0<S_i<100.

Tồn tại 2 Khả năng

KN 1 : Có 1 số chia hết cho 50 là S_k .Suy ra đfcm

KN2 : Có S_k và S_m cùng số dư khi chia cho 50 (Với m>k)

=) 0<S_m-S_k<100 hay S_m-S_k =50

$k=0$  thì $m > 1$.Khi đó a₂+a₃+...+a₄₉=50

$k=1$ Suy ra a₁ +a₃+..+a₄₉ =50

$49\geq k\geq 2$ Suy ra a_k+1+a _k+2+....+a_m =50

(Với k,m,i là các số nguyên từ 0 đến 49)

Suy ra Luôn tồn tại 1 số số có tổng là 50.

-------------------

PS: Anh em thi về làm bài như thế nào ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WangtaX: 04-06-2018 - 11:40

[WangtaX]

Câu Bất đẳng thức !

Đề : $(\sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{c+b}})(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}) \leq 2$

VT = $(\sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{c+b}})(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}) $

$= \sum \frac{\sqrt{ab}}{a+b} +\sum \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}) . 2$ (BĐT AM-GM )

$=2$

Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c >0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WangtaX: 04-06-2018 - 11:32

[WangtaX]

 

Đề thi vào 10 chuyên KHTN Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chung - vòng 2

Thời gian 120 phút

Ngày thi 04/6/2018

Câu I:

1) Giải hệ phương trình   

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2 & & \\ x^3+y^3+x^3y^3 +7(x+1)(y+1)=31 & & \end{matrix}\right.$

 

 

Đặt $a=x+y, b=xy$

Suy ra : $ab =2$

Từ phương trình (2) ta có : $(x+y)^3 - 3xy(x+y) + (xy)^3 + 7(xy+x+y+1) = 31 $

$a^3+b^3 +7(a+b+1) = 37$

$(a+b)^3-3ab(a+b)+7(a+b)=30$

$(a+b)^3+(a+b)=30$

Suy ra : $a+b =3$ .Đến đây dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WangtaX: 04-06-2018 - 11:56

[VuQuyDat]

câu 3 bài lll 

bạn nào nhằn với

[duylax2412]

 

Đề thi vào 10 chuyên KHTN Hà Nội Năm học 2018 - 2019

Đề chuyên - vòng 2

Thời gian 120 phút

Ngày thi 04/6/2018

Câu I:

 

2)Giải phương trình  $9+3\sqrt{x(3-2x)} =7\sqrt{x} =5\sqrt{3-2x}$

 

 

Đặt $a=\sqrt{x}$ và $b=\sqrt{3-2x}$ ($a;b \geq 0$)

Ta có $2a^2+b^2=3$ và $9+3ab=7a+5b$

Cộng lại được $2a^2+b^2+3ab-7a-5b+6=0$ hay $2a^2+(3b-7)a+(b^2-5b+6)=0$

Coi là phương trình bậc $2$ ẩn $a$ có $\triangle =(b-1)^2$

giải ra $a=2-b$ và $a=\frac{3-b}{2}$ 

Đến đây được rồi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 04-06-2018 - 13:07

[NguyenHoaiTrung]

Lời giải chuyên KHTN Hà Nội năm nay 

https://drive.google...rCICpxdzC-/view

[dangkhuong]

 

Lời giải bài hình học của mình: a) Ta có: $\angle QKC=\angle DBC=\angle DAC=\angle CKM$(do $MK\| AD$) dẫn đến: $K,M,Q$ thẳng hàng.

b) Ta có: $\angle RTD=\angle CBD=\angle DEC=\angle RSQ$ do đó: $TSQR$ nội tiếp. Chứng minh tương tự câu a) ta có: $L,M,R$ thẳng hàng. Do vậy chú ý: $AKML$ là hình bình hành nên ta có: $\angle RMQ=\angle KML=\angle CAD=\angle DEC=\angle RSQ$ dẫn đến: $R,T,M,S,Q$ đồng viên.
c) \textbf{Bổ đề}: Cho tam giác $ABC$. $M$ nằm trên 1 đường thẳng $d\| BC$. Lấy $E$ khác $M$ trên $d$. Gọi $AM$ cắt $BC$ tại $I$. Đường thẳng qua $M$ song song $AB$ cắt $BE$ tại $J$. Khi đó: $IJ\| AE$.
\textit{Chứng minh}: Gọi $MJ$ cắt $AE,AC$ tại $S,T$. $ME$ cắt $AC$ tại $G$. Ta có: $MG\| BC$ suy ra:$\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AG}{GC}$. Gọi $ME$ cắt $AB$ tại $P$ ta có: $\dfrac{MS}{MJ}=\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{MA}{MI}$ dẫn đến: $AE\| IJ$.
Quay trở lại bài toán, gọi $AM$ cắt $BC,(O)$ lần lượt tại $I,J$ khác $A$. Áp dụng bổ đề ta có: $IR\| AE, IQ\| AB$. Do đó ta có: $\angle IRE=\angle AEC=\angle AJC$ do đó: $RIJC$ nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có: $DQIJ$ nội tiếp. Do đó ta có: $\angle RJI+\angle IJQ+\angle RPD=2\angle PCD+\angle CPD=180^\circ$ dẫn đến: $RPQJ$ nội tiếp. Kẻ tiếp tuyến $Jx$ của $(O)$ ta có: $\angle xJR=\angle xJA-\angle RJA=\angle ADJ-\angle PDC=\angle ADP+\angle MAC=\angle ADP+\angle PAD=\angle APB$. Lại có: $\angle PEJ=\angle MAC=\angle PED$. Gọi $JP$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $J$ ta có: $AX\| BE\|CD$ do đó: $\angle PJE=\angle ADP$ dẫn đến: $\angle APB=\angle RBJ=\angle RQJ$ dẫn đến: $\angle xJR=\angle RQJ$ hay là ta có: $Jx$ tiếp xúc $(PQR)$ hay ta thu được: $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$(điều phải chứng minh).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 14-06-2018 - 20:32