Chủ đề này có 5 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

[thanhdatqv2003]

Câu 5:

a, Áp dụng bđt B.C.S ta có:

 $\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1)^2}{x+y+z}=\frac{49}{16}$  (đpcm)

[PugMath]

câu 1b) $xt=\frac{x^2(x^2+x+1)}{x^4+x^2+1}=A(x^2+x+1)=>\frac{t}{A}=\frac{x^2+x+1}{x}=\frac{x^2-x+1+2x}{x}=\frac{1}{t}+2=>A=\frac{t^2}{1+2t}$

câu 2b) $2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0<=>2x(x+y-2)-y(x+y-2)-(x+y-2)=0<=>(x+y-2)(2x-y-1)=0=>.$

câu 3b) $a=\sqrt[3]{3x^2-x+1};b=\sqrt[3]{3x^2-7x+2} =>a-b-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{a^3-b^3-2}<=>a^3-b^3-2-3ab(a-b)-3(a-b)\sqrt[3]{2}(a-b-\sqrt[3]{2})=a^3-b^3-2<=>ab(a-b)+(a-b)\sqrt[3]{2}(a-b-\sqrt[3]{2})=0<=>(a-\sqrt[3]{2})(a-b)(b+\sqrt[3]{2})=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 04-06-2018 - 16:26

[NguyenHoaiTrung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                     KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN QUỐC HỌC

         THỪA THIÊN HUẾ                                                                                                                                       NĂM HỌC 2018-2019

        ----------------------------                                                                                                                                  Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2018

        ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                                                                               MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)

                                                                                                                                         Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                                         ----------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (1,5 điểm)

   a) Cho các biểu thức $P(x)=\frac{2x-12\sqrt{x}-32}{x-16}$ và $Q(x)=x+\sqrt{x} +3$. Tìm số nguyên $x_0$ sao cho $P(x_0)$ và $Q(x_0)$ là các số nguyên, đồng thời $P(x_0)$ là ước của $Q(x_0)$.

   b) Cho $t=\frac{x}{x^2-x+1}$. Tính giác trị biểu thức $A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$ theo $t$.

Câu 2: (2 điểm)

   a) Cho parabol $(P) : y=\frac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d) : y=\frac{11}{8}x -\frac{3}{2}$ . Gọi $A,B$ là các giao điểm của $(P)$ và $(d)$. Tìm tọa độ điểm $C$ trên trục tung sao cho $CA+CB$ có giá trị nhỏ nhất.

   b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0  & & \\ x^2+y^2+x+y-4=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3: (1,5 điểm)

   a) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình $x^2-2mx-6m-9=0$ ($x$ là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{2x_2} =\frac{1}{3}

   b) Giải phương trình $\sqrt[3]{3x^2-x+1} -\sqrt[3]{3x^2-7x+2} -\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{2}$

Câu 4: (3 điểm)

   Cho tam giác nhọn $ABC$ ( $AB<AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$, có ba đường cao là $AD,BE,CF$ và trực tâm $H$. Gọi $M$ là giao của $AO$ và $BC$ và $P,Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ $M$ đến $AB,AC$.

   a) Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

   b) Chứng minh $HE.MQ=HF.MP$

   c) Chứng minh $\frac{MB}{MC}.\frac{DB}{DC} =$$(\frac{AB}{AC})^2$

Câu 5: (2 điểm)

   a) Cho $x,y,z$ là các số thực dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng $\frac{1}{16x} +\frac{1}{4y} +\frac{1}{z} \geq \frac{49}{16}$

   b) Cho số tự nhiên $z$ và các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x+y+xy=1$. Tìm giá trị của $x,y,z$ sao cho $(2^{z+1}+42)(x^2+y^2+1+x^2y^2)$ là số chính phương lớn nhất. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 05-06-2018 - 13:41

[Tea Coffee]

 

   b) Cho số tự nhiên $z$ và các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x+y+xy=1$. Tìm giá trị của $x,y,z$ sao cho $(2^{z+1}+42)(x^2+y^2+1+x^2y^2)$ là số chính phương lớn nhất. 

 

Bài này thực sự là một bài toán lừa vì chúng ta thường quên mất điều kiện cho luôn giá trị của biến mà thay vào đó là thế điều kiện vào biểu thức cần tìm

Solution:

Do $x+y+xy=1$ nên $x+y=1-xy=>x^{2}+2xy+y^{2}=1-2xy+x^{2}y^{2}=>x^{2}+y^{2}=1+x^{2}y^{2}-4xy=>x^{2}+y^{2}+1+x^{2}y^{2}=2(xy-1)^{2}$

$=>(2^{z+1}+42)(x^2+y^2+1+x^2y^2) =4(2^{z}+21)(xy-1)^{2}$ là số chính phương.

$=>2^{z}+21$ là số chính phương

Nhận thấy nếu $z$ lẻ thì $2^{z}+21\equiv 2(mod3)$ không chính phương nên $z$ chẵn. Đặt $z=2k$ ($k$ là số tự nhiên)

$=>2^{2k}+21=a^{2}(a\epsilon N)<=>(a-2^{k})(a+2^{k})=21...$

Rồi thế vào biểu thức cần tìm giá trị chính phương lớn nhất là được.

P/S:Lúc đầu làm thì tính nhầm ra $(2^{z+1}+42)(x^{2}+y^{2}+1+x^{2}y^{2})=2(1+x^{2}y^{2}-xy)(2^{z+1}+42)$ (*)

Cái kết quả này vẫn giải được mà còn hay hơn đề bài  

Ta có:$x+y+xy=1<=>(x+1)(y+1)=2$

Vì $x,y$ thuộc tập số nguyên nên $x+1,y+1$ là các số nguyên và là ước của $2$.

Từ đó ta có các cặp: $(x;y)=(0,1),(1,0),(-2,-3),(-3,-2)$

$=>\begin{bmatrix}xy=0 \\ xy=6 \end{bmatrix}$

Để ý thay $xy=0;6$ vào (*)

Với $xy=0$ thì (*)$=4(2^{z}+21)$ thì $2^{z}+21$ là SCP(tương tự trên)

Với $xy=6$ thì $1+x^{2}y^{2}-xy=31=>2^{z}+21\vdots 31$

Nhưng khi xét các trường hợp số dư của $z$ với 5 thì $2^{z}+21$ không chia hết cho 5 nên loại.

=> Từ đó cho thấy đề chưa chặt với cái giả thiết ban đầu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 02-07-2018 - 19:52

[NguyenHoaiTrung]

Câu 3 b) Đặt $a=\sqrt[3]{3x^2-x+1}, b=\sqrt[3]{3x^2-7x+2},c=\sqrt[3]{2}$

Khi đó, ta có: $a-b-\sqrt[3]{a^3-b^3-c^3}=c<=>(a-b-c)^3=a^3-b^3-c^3<=>3b(a-c)(a-b-c)=0$