Đến nội dung

Hình ảnh

$P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là số chính phương

- - - - - 0404

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.

 

p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 04-06-2018 - 18:23

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#2
Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.

 

p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt :))

Phân tích ra có $P(x)= x^4+(a+b+c)x^3+(ab+bc+ca)x^2+abcx+1$ là scp

Mà P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số tự do là 1 nên để P(x) là scp ta có các TH:$P(x) \in {(x+1)^4 ;(x-1)^4; (x^2+1)^2;(x^2-1)^2...}$

Để P(x) luôn là scp với mọi x nguyên thì các hệ số mũ tương ứng của P(x) phải bằng các hệ số mũ của đa thức tương ứng

TH $P(x)=(x+1)^4$ thì a+b+c=6;abc=6;ab+bc+ca=10 (ko có nghiệm nguyên)

TH $P(x)=(x-1)^4$ thì a+b+c=-6;abc=-6;ab+bc+ca=10 (ko có nghiệm nguyên)

TH $P(x)=(x^2+1)^2$ thì a+b+c=abc=0; ab+bc+ca=2 (vô nghiệm)

Cmtt vs $P(x)=(x^2-1)^2$ thì ko tồn tại a,b,c nguyên

Giờ ta xét $P(x)=(x^2+dx+1)^2$ với d nguyên thì ta có $P(x)=x^4+d^2x^2+1+2dx^3+2x^2+2dx=x^4+2dx^3+x^2(d^2+2)+2dx+1$

Suy ra a+b+c=2d; ab+bc+ca=$d^2+2$; abc=2d thì ta có a+b+c=abc tức (a;b;c)=(1;2;3),(-1;-2;-3) và các hoán vị. Vs a,b,c như vậy ta tìm được d nguyên

CMTT với $P(x)=(x^2-dx+1)^2; P(x)=(x^2-dx-1)^2; P(x)=(x^2+dx-1)^2$ ta tìm được (a;b;c)=(1;2;3), (-1;-2;-3) và các hoán vị

P/S kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 04-06-2018 - 19:47

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 0404

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh