Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là số chính phương

0404

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-06-2018 - 15:32

Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.

 

p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 04-06-2018 - 18:23

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#2 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-06-2018 - 19:47

Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.

 

p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt :))

Phân tích ra có $P(x)= x^4+(a+b+c)x^3+(ab+bc+ca)x^2+abcx+1$ là scp

Mà P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số tự do là 1 nên để P(x) là scp ta có các TH:$P(x) \in {(x+1)^4 ;(x-1)^4; (x^2+1)^2;(x^2-1)^2...}$

Để P(x) luôn là scp với mọi x nguyên thì các hệ số mũ tương ứng của P(x) phải bằng các hệ số mũ của đa thức tương ứng

TH $P(x)=(x+1)^4$ thì a+b+c=6;abc=6;ab+bc+ca=10 (ko có nghiệm nguyên)

TH $P(x)=(x-1)^4$ thì a+b+c=-6;abc=-6;ab+bc+ca=10 (ko có nghiệm nguyên)

TH $P(x)=(x^2+1)^2$ thì a+b+c=abc=0; ab+bc+ca=2 (vô nghiệm)

Cmtt vs $P(x)=(x^2-1)^2$ thì ko tồn tại a,b,c nguyên

Giờ ta xét $P(x)=(x^2+dx+1)^2$ với d nguyên thì ta có $P(x)=x^4+d^2x^2+1+2dx^3+2x^2+2dx=x^4+2dx^3+x^2(d^2+2)+2dx+1$

Suy ra a+b+c=2d; ab+bc+ca=$d^2+2$; abc=2d thì ta có a+b+c=abc tức (a;b;c)=(1;2;3),(-1;-2;-3) và các hoán vị. Vs a,b,c như vậy ta tìm được d nguyên

CMTT với $P(x)=(x^2-dx+1)^2; P(x)=(x^2-dx-1)^2; P(x)=(x^2+dx-1)^2$ ta tìm được (a;b;c)=(1;2;3), (-1;-2;-3) và các hoán vị

P/S kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 04-06-2018 - 19:47

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh