Chủ đề này có 2 trả lời

[pinocchio1923]

Cho $\left\{\begin{matrix}a, b> 0 &  & \\ a+b\leq 1 &  & \end{matrix}\right.$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$

[MarkGot7]

S= $\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+ \frac{1}{2a^{2}b}+\frac{1}{2a^{2}b}+\frac{1}{2ab^{2}}+\frac{1}{2ab^{2}}$

  Áp dụng BĐT Svac-xơ:

     $S\geq \frac{5^{2}}{a^{3}+b^{3}+2a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+2ab^{2}}$

             = $\frac{25}{a^{3}+4a^{2}b+4ab^{2}+b^{3}}= \frac{25}{(a+b)^{3}+ab(a+b)}$

Ta có: $a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow S\geq \frac{25}{1^{3}+\frac{1}{4}}= \frac{25}{\frac{5}{4}}= 20$

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

P/s: Dịch đề mà hoa cả mắt   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkGot7: 04-06-2018 - 21:55

[pinocchio1923]

S= $\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+ \frac{1}{2a^{2}b}+\frac{1}{2a^{2}b}+\frac{1}{2ab^{2}}+\frac{1}{2ab^{2}}$

  Áp dụng BĐT Svac-xơ:

     $S\geq \frac{5^{2}}{a^{3}+b^{3}+2a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+2ab^{2}}$

             = $\frac{25}{a^{3}+4a^{2}b+4ab^{2}+b^{3}}= \frac{25}{(a+b)^{3}+ab(a+b)}$

Ta có: $a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow S\geq \frac{25}{1^{3}+\frac{1}{4}}= \frac{25}{\frac{5}{4}}= 20$

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

P/s: Dịch đề mà hoa cả mắt   

tại mình ko gõ latex được bạn thông cảm