Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\left ( \frac{a}{b+1}+

bất đẳng thức cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
pinocchio1923

pinocchio1923

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

1. Cho $ a, b, c> 0$

cmr:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\left ( \frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \right )$

2. Cho $a, b, c\geq 0$ và $a^{^{2}}+2b^{2}+3c^{^{2}}= 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $2a^{3}+3b^{3}+4c^{3}$

3. Cho a, b, c là các số thực dương.

cmr: $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$

4. Cho $ a, b, c> 0$.
cmr: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}\geq \frac{a^{4}}{c}+\frac{b^{4}}{a}+\frac{c^{4}}{b}$
5. Cho $ a, b, c> 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$
cmr: $\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq 1 $
6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\leq 1$
cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pinocchio1923: 05-06-2018 - 12:11


#2
pinocchio1923

pinocchio1923

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

help me plzzzz


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pinocchio1923: 05-06-2018 - 18:18


#3
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

 

1. Cho $ a, b, c> 0$

cmr:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\left ( \frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \right )$

 

 

$VP\leq 2(\frac{a}{2\sqrt{b}}+\frac{b}{2\sqrt{c}}+\frac{c}{2\sqrt{a}})=VT<=>a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 26-07-2018 - 08:35

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#4
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

 

4. Cho $ a, b, c> 0$.
cmr: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}\geq \frac{a^{4}}{c}+\frac{b^{4}}{a}+\frac{c^{4}}{b}$
 

 

$\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}} \geq 3.\frac{c^{4}}{b}=>3VT\geq 3VP=>VT\geq VP<=>a=b=c$


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#5
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

 

5. Cho $ a, b, c> 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$
cmr: $\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq 1 $
 

BĐT Bunhiacopxki : $\frac{1}{a^2+b+1}\leq \frac{1+b+c^2}{(a+b+c)^2}$

$\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+a+b+c+3}{(a+b+c)^2}$

Bài toán đưa về C/m : $ab+bc+ac \geq 3$

Mà$(ab+bc+ac)^2=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac) <=> ab+bc+ac \geq 3$ (ĐPCM)


WangtaX

 


#6
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Bài 2 : Mình sẽ c/m với $a^2+2b^2+3c^2=407$

Có $ (a^3+a^3+6^3 )+ (\frac{3}{2}b^3+\frac{3}{2}b^3+\frac{3}{2}.8^3)+(2c^3+2c^3+2.9^3) \geq 18a^2+36b^2+54c^2=18.407 => VT \geq 4884$

Dấu bằng xảy ra khi : a=6, b=8, c=9 

------------------------

Bài toán ban đầu : $VT \geq \frac{4884}{(\sqrt{407})^3}$

$a =\frac{6}{\sqrt{407}},b=\frac{6}{\sqrt{407}},c=\frac{9}{\sqrt{407}}$


WangtaX

 


#7
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

 

 

3. Cho a, b, c là các số thực dương.

cmr: $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$

 

 

Ta có : 

$\sqrt{\frac{a}{(a+1)(c+1)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+1)(a+1)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+1)(b+1)}} $

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{3}{2}$

$=> \sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 26-07-2018 - 09:44

WangtaX

 


#8
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

 

6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\leq 1$

cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

 

Mình nghĩ đề sai vì nếu chọn $a=b=c=\frac{1}{2}$ thì VT <0


WangtaX

 


#9
thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Mình nghĩ đề sai vì nếu chọn $a=b=c=\frac{1}{2}$ thì VT <0

Chắc chắn sai, chắc do bạn ấy gõ nhầm . Đáng ra là abc$\geq 1$, 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 26-07-2018 - 10:25

:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#10
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Chắc chắn sai, chắc do bạn ấy gõ nhầm . Đáng ra là abc$\geq 0$, 

Là $abc \geq 1$ hoặc $abc = 1$ gì đó


WangtaX

 


#11
thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

 

6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\leq 1$
cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

 

Hưởng ứng phong trào: 

Bài 5:Cần sửa lại đề là abc$\geqslant 1$

Ta có: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0\Leftrightarrow 3-\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq 3\Leftrightarrow \sum (1-\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}})\leqslant 3\Leftrightarrow {(a^2+b^2+c^2)}(\sum {\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}})\leqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{3}{a^2+b^2+c^2}$

Vậy ta cần C/m: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{3}{a^2+b^2+c^2}$         (@)

 

Ta có : $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leqslant \sum \frac{1}{\frac{a^5}{abc}+b^2+c^2}\doteq \sum \frac{1}{\frac{a^4}{bc}+b^2+c^2}\leqslant \sum \frac{1}{\frac{a^4}{\frac{b^2+c^2}{2}}+b^2+c^2}\doteq \sum \frac{b^2+c^2}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$

 

Ta lại có $(2x-y)^2 \geqslant 0\Leftrightarrow 4x^2-4xy+y^2\geqslant 0\Leftrightarrow 6x^2+3y^2\geqslant 2(x^2+2xy+y^2)\Leftrightarrow 2x^2+y^2\geqslant \frac{2}{3}(x+y)^2$  (1)

 

Áp dụng bđt (1) ta có: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geqslant \sum \frac{b^2+c^2}{2a^4+(b^2+c^2)^2}\geqslant \sum \frac{b^2+c^2}{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^2}\doteq \sum \frac{3(b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}\doteq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{3}{a^2+b^2+c^2}$

Vậy Bđt (@) được C/m: 

Hay  $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$ ( đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 26-07-2018 - 10:08

:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh